与えられた式 $(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)$ を展開し、結果を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)$ を展開し、結果を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、式を適切にグループ化して展開します。ここでは、$(x-1)(x-5)$ と $(x-2)(x-4)$ をそれぞれ計算します。

$(x-1)(x-5) = x^2 - 5x - x + 5 = x^2 - 6x + 5$

$(x-2)(x-4) = x^2 - 4x - 2x + 8 = x^2 - 6x + 8$

ここで、$A = x^2 - 6x$ と置くと、

$(x^2 - 6x + 5)(x^2 - 6x + 8) = (A + 5)(A + 8)$

これを展開すると、

$(A + 5)(A + 8) = A^2 + 8A + 5A + 40 = A^2 + 13A + 40$

ここで、$A = x^2 - 6x$ を代入します。

$(x^2 - 6x)^2 + 13(x^2 - 6x) + 40 = (x^4 - 12x^3 + 36x^2) + (13x^2 - 78x) + 40$

整理すると、

$x^4 - 12x^3 + 36x^2 + 13x^2 - 78x + 40 = x^4 - 12x^3 + 49x^2 - 78x + 40$

3. 最終的な答え

$x^4 - 12x^3 + 49x^2 - 78x + 40$