## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = x^2 - 6x + 10$ と $g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 8$ について、

(1) $y = f(x)$ と $y = g(x)$ のグラフを描画すること。

(2) $g(x) - f(x)$ が最大となる時の $x$ の値を求めること。

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2. 解き方の手順

(1) グラフの描画

* $f(x) = x^2 - 6x + 10$ のグラフは下に凸な放物線です。平方完成して頂点を求めます。

$f(x) = (x - 3)^2 - 9 + 10 = (x - 3)^2 + 1$

したがって、頂点は $(3, 1)$ です。

* $g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 8$ のグラフは上に凸な放物線です。頂点は $(0, 8)$ です。

グラフは、頂点といくつかの点を通るように描画します。

(2) $g(x) - f(x)$ が最大となる $x$ の値の計算

* $h(x) = g(x) - f(x)$ とおきます。

$h(x) = (-\frac{1}{2}x^2 + 8) - (x^2 - 6x + 10) = -\frac{3}{2}x^2 + 6x - 2$

* $h(x)$ が最大となる $x$ の値を求めます。$h(x)$ は上に凸な放物線なので、頂点の $x$ 座標が最大値を与える $x$ の値となります。

平方完成して頂点を求めます。

$h(x) = -\frac{3}{2}(x^2 - 4x) - 2 = -\frac{3}{2}(x^2 - 4x + 4 - 4) - 2 = -\frac{3}{2}(x - 2)^2 + 6 - 2 = -\frac{3}{2}(x - 2)^2 + 4$

したがって、頂点の $x$ 座標は $x = 2$ です。

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3. 最終的な答え

$g(x) - f(x)$ が最大となる $x$ の値は $x = 2$ です。