$x$ の2次方程式 $x^2 + 2ax + a^2 + 4a = 0$ と $x^2 - ax + a^2 + a = 0$ が共通の解を持つような $a$ の値を求め、そのときの共通解を求める問題です。ただし、$a$ の値は2つ存在し、大きい方を「ア」、小さい方を「ウ」とします。

代数学二次方程式共通解方程式
2025/7/12

1. 問題の内容

xx の2次方程式 x2+2ax+a2+4a=0x^2 + 2ax + a^2 + 4a = 0x2ax+a2+a=0x^2 - ax + a^2 + a = 0 が共通の解を持つような aa の値を求め、そのときの共通解を求める問題です。ただし、aa の値は2つ存在し、大きい方を「ア」、小さい方を「ウ」とします。

2. 解き方の手順

2つの2次方程式をそれぞれ (1) と (2) とします。
(1) x2+2ax+a2+4a=0x^2 + 2ax + a^2 + 4a = 0
(2) x2ax+a2+a=0x^2 - ax + a^2 + a = 0
共通解を x=αx = \alpha とすると、以下が成り立ちます。
(1') α2+2aα+a2+4a=0\alpha^2 + 2a\alpha + a^2 + 4a = 0
(2') α2aα+a2+a=0\alpha^2 - a\alpha + a^2 + a = 0
(1') - (2') より、
3aα+3a=03a\alpha + 3a = 0
3a(α+1)=03a(\alpha + 1) = 0
したがって、a=0a = 0 または α=1\alpha = -1 が成り立ちます。
(i) a=0a = 0 のとき
(1) は x2=0x^2 = 0 となり、x=0x = 0
(2) は x2=0x^2 = 0 となり、x=0x = 0
したがって、a=0a = 0 のとき、共通解は x=0x = 0
(ii) α=1\alpha = -1 のとき
(1') に α=1\alpha = -1 を代入すると、
12a+a2+4a=01 - 2a + a^2 + 4a = 0
a2+2a+1=0a^2 + 2a + 1 = 0
(a+1)2=0(a + 1)^2 = 0
a=1a = -1
(2') に α=1\alpha = -1 を代入すると、
1+a+a2+a=01 + a + a^2 + a = 0
a2+2a+1=0a^2 + 2a + 1 = 0
(a+1)2=0(a + 1)^2 = 0
a=1a = -1
したがって、a=1a = -1 のとき、共通解は x=1x = -1
a>ua > u より、a=0a = 0 がア、a=1a = -1 がウとなります。

3. 最終的な答え

ア: a=0a = 0 のとき、共通解は 00
ウ: a=1a = -1 のとき、共通解は 1-1

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