$a$を定数とする。2つの2次方程式 $x^2 + ax - a + 1 = 0$ $x^2 + (a-1)x + a - 2 = 0$ が共通の解を持つような$a$の値と、その時の共通解を求める。ただし、$a$の値は2つあり、$a$が大きい方から順にア、ウとする。

1. 問題の内容

$a$を定数とする。2つの2次方程式

$x^2 + ax - a + 1 = 0$

$x^2 + (a-1)x + a - 2 = 0$

が共通の解を持つような$a$の値と、その時の共通解を求める。ただし、$a$の値は2つあり、$a$が大きい方から順にア、ウとする。

2. 解き方の手順

2つの式が共通解$x$を持つとする。共通解を$x$として2つの式を書き出す。

$x^2 + ax - a + 1 = 0$ (1)

$x^2 + (a-1)x + a - 2 = 0$ (2)

(1) - (2)より、

$(ax - (a-1)x) + (-a + 1 - (a-2)) = 0$

$(ax - ax + x) + (-a + 1 - a + 2) = 0$

$x - 2a + 3 = 0$

$x = 2a - 3$ (3)

(3)を(1)に代入する。

$(2a-3)^2 + a(2a-3) - a + 1 = 0$

$4a^2 - 12a + 9 + 2a^2 - 3a - a + 1 = 0$

$6a^2 - 16a + 10 = 0$

$3a^2 - 8a + 5 = 0$

$(3a - 5)(a - 1) = 0$

$a = \frac{5}{3}, 1$

$a = \frac{5}{3}$ のとき、(3)より$x = 2(\frac{5}{3}) - 3 = \frac{10}{3} - \frac{9}{3} = \frac{1}{3}$

$a = 1$ のとき、(3)より$x = 2(1) - 3 = -1$

$a = \frac{5}{3}$ のとき、共通解は$\frac{1}{3}$

$a = 1$ のとき、共通解は$-1$

3. 最終的な答え

ア: $\frac{5}{3}$、イ: $\frac{1}{3}$

ウ: 1、エ: -1