問題は、式 $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を展開して整理することです。

1. 問題の内容

問題は、式 $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を展開して整理することです。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)(b+c)$ を展開します。

$(a+b)(b+c) = ab + ac + b^2 + bc$

次に、この結果に $(c+a)$ を掛けます。

$(ab + ac + b^2 + bc)(c+a) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

整理すると、

$2abc + a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2$

最後に、与えられた式に $abc$ を足します。

$2abc + a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + abc = 3abc + a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2$

さらに整理すると、

$a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

この式は、$(a+b)(b+c)(c+a) + abc$を展開したものです。

因数分解することも可能です。

$a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc + abc = (a+b)(b+c)(c+a) + abc$

$(a+b+c)(ab+bc+ca) = a^2b + abc + a^2c + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a = a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

したがって、

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$

3. 最終的な答え

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$