問題は2つの部分から構成されています。 (2) 2つの行列の積を計算します。 (3) (2)で求めた行列の6乗を計算します。

1. 問題の内容

問題は2つの部分から構成されています。

(2) 2つの行列の積を計算します。

(3) (2)で求めた行列の6乗を計算します。

2. 解き方の手順

(2) 2つの行列の積を計算します。

与えられた行列をAとBとします。

$A = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

行列の積ABを計算します。

$AB = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} & -\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} & \frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \\ \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

(3) (2)で求めた行列の6乗を計算します。

$AB = C$とおきます。

$C = \begin{pmatrix} \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} & \frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \\ \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

$C = \begin{pmatrix} \cos(\frac{\pi}{12}) & -\sin(\frac{\pi}{12}) \\ \sin(\frac{\pi}{12}) & \cos(\frac{\pi}{12}) \end{pmatrix}$

これは角度$\frac{\pi}{12}$の回転行列です。

したがって、$C^6$は角度$6 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2}$の回転行列になります。

$C^6 = \begin{pmatrix} \cos(\frac{\pi}{2}) & -\sin(\frac{\pi}{2}) \\ \sin(\frac{\pi}{2}) & \cos(\frac{\pi}{2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(2) の答え: $\begin{pmatrix} \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} & \frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \\ \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

(3) の答え: $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$