2次方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ の2つの解をそれぞれ$\alpha$, $\beta$とする。このとき、$(\alpha - 2)(\beta - 2)$の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ の2つの解をそれぞれ$\alpha$, $\beta$とする。このとき、$(\alpha - 2)(\beta - 2)$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

解と係数の関係を利用する。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を$\alpha$, $\beta$とすると、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

である。

与えられた2次方程式は$x^2 - 2x + 3 = 0$なので、

$\alpha + \beta = -\frac{-2}{1} = 2$

$\alpha \beta = \frac{3}{1} = 3$

である。

次に、$(\alpha - 2)(\beta - 2)$を展開する。

$(\alpha - 2)(\beta - 2) = \alpha \beta - 2\alpha - 2\beta + 4 = \alpha \beta - 2(\alpha + \beta) + 4$

$\alpha + \beta = 2$, $\alpha \beta = 3$を代入する。

$(\alpha - 2)(\beta - 2) = 3 - 2(2) + 4 = 3 - 4 + 4 = 3$

3. 最終的な答え

$(\alpha - 2)(\beta - 2) = 3$