ある商品を1個200円で仕入れ、売り値を250円で売ると1日に600個売れる。売り値を1円値下げするごとに1日の売上個数は15個ずつ増加し、1円値上げするごとに1日の売上個数は15個ずつ減少する。この商品を1個200円で何個か仕入れ、仕入れた商品をその日のうちに完売させるとき、1日の利益を最大にする仕入れの個数と1個あたりの売り値を求める。

1. 問題の内容

ある商品を1個200円で仕入れ、売り値を250円で売ると1日に600個売れる。売り値を1円値下げするごとに1日の売上個数は15個ずつ増加し、1円値上げするごとに1日の売上個数は15個ずつ減少する。この商品を1個200円で何個か仕入れ、仕入れた商品をその日のうちに完売させるとき、1日の利益を最大にする仕入れの個数と1個あたりの売り値を求める。

2. 解き方の手順

* 売り値を $x$ 円とすると、売り上げ個数は $600 + 15(250-x)$ 個となる。

* 利益は（売り値 - 仕入れ値）× 売り上げ個数で計算できるので、

利益 $P$ は

$$P = (x-200)(600 + 15(250-x))$$

$$P = (x-200)(600+3750-15x)$$

$$P = (x-200)(4350-15x)$$

$$P = -15x^2 + 4350x + 3000x - 870000$$

$$P = -15x^2 + 7350x - 870000$$

* 利益 $P$ が最大となる $x$ を求める。これは2次関数であるから、平方完成して頂点を求める。

$$P = -15(x^2 - 490x) - 870000$$

$$P = -15(x^2 - 490x + 245^2 - 245^2) - 870000$$

$$P = -15(x - 245)^2 + 15(245^2) - 870000$$

$$P = -15(x - 245)^2 + 15(60025) - 870000$$

$$P = -15(x - 245)^2 + 900375 - 870000$$

$$P = -15(x - 245)^2 + 30375$$

* 頂点の $x$ 座標は $x = 245$ であるから、売り値を245円にすると利益が最大になる。

* この時の売上個数は、 $600 + 15(250-245) = 600 + 15 \times 5 = 600 + 75 = 675$ 個となる。

* したがって、仕入れ個数も675個とする。

3. 最終的な答え

仕入れ個数：675個

1個あたりの売り値：245円