$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ とする。 (1) $a$ の分母を有理化して、簡単にせよ。 (2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求めよ。また、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めよ。 (3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ とする。

(1) $a$ の分母を有理化して、簡単にせよ。

(2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求めよ。また、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めよ。

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 分母を有理化する。$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ の分母に $3\sqrt{2} + \sqrt{10}$ を掛けて分母を有理化する。

$a = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{18 - 10} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a}$ を計算する。まず、$\frac{1}{a}$ を計算する。

$\frac{1}{a} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4}$ より、$\frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$.

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$.

$a^2 + \frac{4}{a^2}$ を計算する。

$a^2 + \frac{4}{a^2} = (a + \frac{2}{a})^2 - 2 \times a \times \frac{2}{a} = (a + \frac{2}{a})^2 - 4$.

$a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$ より、$(a + \frac{2}{a})^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$.

$a^2 + \frac{4}{a^2} = 18 - 4 = 14$.

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ を計算する。

$a^4 - \frac{16}{a^4} = (a^2 + \frac{4}{a^2})(a^2 - \frac{4}{a^2}) = (a^2 + \frac{4}{a^2})(a + \frac{2}{a})(a - \frac{2}{a})$.

$a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$ であり、$a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$ である。

また、$a - \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} - \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}$.

よって、$a^4 - \frac{16}{a^4} = 14 \times 3\sqrt{2} \times \sqrt{10} = 42\sqrt{20} = 42 \times 2\sqrt{5} = 84\sqrt{5}$.

$-\frac{8}{a^2} = -2(\frac{4}{a^2})$ であり、与えられた式は

$a^4 - \frac{16}{a^4} - 2(\frac{4}{a^2}) - 1 = (a^2 + \frac{4}{a^2})(a^2 - \frac{4}{a^2}) - 2(\frac{4}{a^2}) - 1 = 14 (a^2 - \frac{4}{a^2}) - 2(\frac{4}{a^2}) - 1$.

$a^2 - \frac{4}{a^2} = (a+\frac{2}{a})(a-\frac{2}{a})=3\sqrt{2} \times \sqrt{10} = 3\sqrt{20} = 6\sqrt{5}$.

$14(6\sqrt{5}) - 2(\frac{4}{a^2}) - 1 = 84\sqrt{5} - 2(\frac{4}{a^2}) - 1$.

$\frac{4}{a^2} = 14 - a^2 = 14 - \frac{(3\sqrt{2} + \sqrt{10})^2}{4} = 14 - \frac{18 + 6\sqrt{20} + 10}{4} = 14 - \frac{28 + 12\sqrt{5}}{4} = 14 - 7 - 3\sqrt{5} = 7 - 3\sqrt{5}$.

よって、$84\sqrt{5} - 2(7 - 3\sqrt{5}) - 1 = 84\sqrt{5} - 14 + 6\sqrt{5} - 1 = 90\sqrt{5} - 15$.

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = (a^2 - \frac{4}{a^2})^2 - \frac{8}{a^2} - 1$.

ここで、$a^2 - \frac{4}{a^2} = (a - \frac{2}{a})(a + \frac{2}{a}) = \sqrt{10} \times 3\sqrt{2} = 3\sqrt{20} = 6\sqrt{5}$.

$(a^2 - \frac{4}{a^2})^2 = (6\sqrt{5})^2 = 36 \times 5 = 180$.

$\frac{8}{a^2} = 2 \times \frac{4}{a^2} = 2(7-3\sqrt{5})=14-6\sqrt{5}$.

$180 - 14 + 6\sqrt{5} - 1 = 165 + 6\sqrt{5}$

別の解き方として、$x = a^2$ とおくと問題の式は $x^2 - \frac{16}{x^2} - \frac{8}{x} - 1$ となる.

$a^2 = (\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2})^2 = \frac{18 + 6\sqrt{20} + 10}{4} = \frac{28 + 12\sqrt{5}}{4} = 7 + 3\sqrt{5}$.

$\frac{1}{a^2} = \frac{1}{7+3\sqrt{5}} = \frac{7-3\sqrt{5}}{49-45} = \frac{7-3\sqrt{5}}{4}$.

$a^4 = (7+3\sqrt{5})^2 = 49 + 42\sqrt{5} + 45 = 94+42\sqrt{5}$

$\frac{16}{a^4} = 16(\frac{7-3\sqrt{5}}{4})^2 = (2(7-3\sqrt{5}))^2 = 4(49-42\sqrt{5}+45)=4(94-42\sqrt{5})$

$(a^2+\frac{2}{a})^2 - 2 \frac{4}{a^2} - 1 = 14$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$, $a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = 165 + 6\sqrt{5}$