与えられた$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$に対して、 (1) $a$の分母を有理化し、簡単にすること。 (2) $a + \frac{2}{a}$の値を求め、さらに$a^2 + \frac{4}{a^2}$の値を求めること。 (3) $\frac{a^4 - 16}{a^4 - \frac{8}{a^2} - 1}$の値を求めること。

はい、この問題を解きましょう。

1. 問題の内容

与えられた$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$に対して、

(1) $a$の分母を有理化し、簡単にすること。

(2) $a + \frac{2}{a}$の値を求め、さらに$a^2 + \frac{4}{a^2}$の値を求めること。

(3) $\frac{a^4 - 16}{a^4 - \frac{8}{a^2} - 1}$の値を求めること。

2. 解き方の手順

(1) $a$の分母を有理化する。

$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$の分母に$3\sqrt{2} + \sqrt{10}$を掛けて分母を有理化する。

$a = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{18 - 10} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a}$を計算する。

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{2}{\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{4}{3\sqrt{2} + \sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

$a^2 + \frac{4}{a^2}$を計算する。

$a^2 + \frac{4}{a^2} = (a + \frac{2}{a})^2 - 2(a)(\frac{2}{a}) = (3\sqrt{2})^2 - 4 = 18 - 4 = 14$

(3) $\frac{a^4 - 16}{a^4 - \frac{8}{a^2} - 1}$を計算する。

$a^4 - 16 = (a^2)^2 - 4^2 = (a^2 - 4)(a^2 + 4)$

$a^4 - \frac{8}{a^2} - 1 = (a^2 + \frac{2}{a})^2 - 4 - \frac{8}{a^2} -1= (a - \frac{2}{a}) (a+\frac{2}{a}) + 4-4$

$a^4 - 16 = (a^2+4)(a^2-4) = (a^2+4)(a+2)(a-2)$

$\frac{a^4 - 16}{a^4 - \frac{8}{a^2} - 1}= \frac{(a^2 + 4)(a^2 - 4)}{a^4 - \frac{8}{a^2} - 1} = \frac{14*1}{14*2}$.

$a^2 = (\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2})^2 = \frac{18+6\sqrt{20}+10}{4} = \frac{28+12\sqrt{5}}{4} = 7+3\sqrt{5}$

$\frac{2}{a} = \frac{2}{\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2} + \sqrt{10}} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$

$a^2 = 7+3\sqrt{5}, \frac{4}{a^2} = 14-3 \sqrt{5} -4

a^{4} + \frac{8}{a^2}$

$a - \frac{2}{a} = \sqrt{18}$

$a^4 - 16= ( a^2 - 4)( a^2 +4)$

$\frac{a^{4-16}}{ a^{4} -(\frac{2}{a})-1 } = 1$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$、 $a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$

(3) $\frac{a^4 - 16}{a^4 - \frac{8}{a^2} - 1} = 1$