与えられた $a$ の値に対して、以下の3つの問題を解く。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にする。 (2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求める。また、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求める。 (3) $\frac{a^4 - \frac{16}{a^4}}{a^2 - \frac{8}{a^2} - 1}$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた $a$ の値に対して、以下の3つの問題を解く。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にする。

(2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求める。また、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求める。

(3) $\frac{a^4 - \frac{16}{a^4}}{a^2 - \frac{8}{a^2} - 1}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ の分母を有理化する。

$3\sqrt{2} + \sqrt{10}$ を分母と分子にかける。

$$a = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{18 - 10} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$$

(2) $a + \frac{2}{a}$ を計算する。

$$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{2}{\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{4}{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}$$

$$= \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{8}$$

$$= \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$

次に、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ を計算する。

$$a^2 + \frac{4}{a^2} = (a + \frac{2}{a})^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{2}{a} = (3\sqrt{2})^2 - 4 = 18 - 4 = 14$$

(3) $\frac{a^4 - \frac{16}{a^4}}{a^2 - \frac{8}{a^2} - 1}$ を計算する。

まず、$a^4 - \frac{16}{a^4} = (a^2 + \frac{4}{a^2})(a^2 - \frac{4}{a^2}) = (14)(a^2 - \frac{4}{a^2})$

次に、$a^2 - \frac{4}{a^2} = (a + \frac{2}{a})(a - \frac{2}{a}) = 3\sqrt{2} (a - \frac{2}{a})$

ここで、$a - \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} - \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}$

したがって、$a^2 - \frac{4}{a^2} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{10} = 3\sqrt{20} = 6\sqrt{5}$

$a^4 - \frac{16}{a^4} = 14 \cdot 6\sqrt{5} = 84\sqrt{5}$

また、$a^2 - \frac{8}{a^2} - 1 = (a^2 + \frac{4}{a^2}) - \frac{12}{a^2} - 1 = 14 - \frac{12}{a^2} - 1 = 13 - \frac{12}{a^2}$

$\frac{12}{a^2} = \frac{12}{(\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2})^2} = \frac{12}{\frac{18 + 6\sqrt{20} + 10}{4}} = \frac{48}{28 + 12\sqrt{5}} = \frac{12}{7 + 3\sqrt{5}} = \frac{12(7 - 3\sqrt{5})}{49 - 45} = \frac{12(7 - 3\sqrt{5})}{4} = 3(7 - 3\sqrt{5}) = 21 - 9\sqrt{5}$

$a^2 - \frac{8}{a^2} - 1 = 13 - (21 - 9\sqrt{5}) = -8 + 9\sqrt{5}$

最終的に、$\frac{a^4 - \frac{16}{a^4}}{a^2 - \frac{8}{a^2} - 1} = \frac{84\sqrt{5}}{-8 + 9\sqrt{5}} = \frac{84\sqrt{5}(-8 - 9\sqrt{5})}{64 - 405} = \frac{84\sqrt{5}(-8 - 9\sqrt{5})}{-341} = \frac{84(-8\sqrt{5} - 45)}{-341} = \frac{84(8\sqrt{5} + 45)}{341}$

$\frac{a^4 - \frac{16}{a^4}}{a^2 - \frac{8}{a^2} - 1} = \frac{a^4 - 16/a^4}{a^2 - 8/a^2 - 1} = \frac{(a^2 + 4/a^2)(a^2 - 4/a^2)}{a^2 - 8/a^2 - 1} = \frac{14(a^2 - 4/a^2)}{a^2 - 8/a^2 - 1} = \frac{14(a - 2/a)(a + 2/a)}{a^2 - 8/a^2 - 1} = \frac{14 \cdot \sqrt{10} \cdot 3\sqrt{2}}{a^2 - 8/a^2 - 1} = \frac{42\sqrt{20}}{a^2 - 8/a^2 - 1} = \frac{84\sqrt{5}}{a^2 - 8/a^2 - 1}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$, $a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$

(3) $\frac{a^4 - \frac{16}{a^4}}{a^2 - \frac{8}{a^2} - 1} = \frac{84(8\sqrt{5} + 45)}{341}$

あるいは $\frac{84\sqrt{5}}{-8+9\sqrt{5}}$

$\frac{3780+672\sqrt{5}}{341}$