与えられた $a = \frac{4}{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}$ に対して、以下の問題を解きます。 (1) $a$ の分母を有理化して、簡単にします。 (2) $a+\frac{2}{a}$ の値を求め、さらに $a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めます。 (3) $\frac{a^4 - 16}{a^2} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた $a = \frac{4}{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}$ に対して、以下の問題を解きます。

(1) $a$ の分母を有理化して、簡単にします。

(2) $a+\frac{2}{a}$ の値を求め、さらに $a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めます。

(3) $\frac{a^4 - 16}{a^2} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化します。

$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$

分母の共役 $3\sqrt{2}+\sqrt{10}$ を分母と分子に掛けます。

$a = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{(3\sqrt{2} - \sqrt{10})(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}$

$a = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2}$

$a = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{18 - 10}$

$a = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{8}$

$a = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a+\frac{2}{a}$ の値を求めます。

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{2}{\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}}$

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{4}{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}$

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{(3\sqrt{2} + \sqrt{10})(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}$

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{18 - 10}$

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{8}$

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10} + 3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$

$a + \frac{2}{a} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

次に、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めます。

$(a + \frac{2}{a})^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{2}{a} + \frac{4}{a^2}$

$(a + \frac{2}{a})^2 = a^2 + 4 + \frac{4}{a^2}$

$a^2 + \frac{4}{a^2} = (a + \frac{2}{a})^2 - 4$

$a^2 + \frac{4}{a^2} = (3\sqrt{2})^2 - 4$

$a^2 + \frac{4}{a^2} = 18 - 4 = 14$

(3) $\frac{a^4 - 16}{a^2} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めます。

$\frac{a^4 - 16}{a^2} - \frac{8}{a^2} - 1 = \frac{a^4}{a^2} - \frac{16}{a^2} - \frac{8}{a^2} - 1$

$= a^2 - \frac{24}{a^2} - 1$

$= a^2 - \frac{4}{a^2} - \frac{20}{a^2} - 1$

$a = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$ より

$a^2 = \frac{(3\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{10} + (\sqrt{10})^2}{4} = \frac{18 + 6\sqrt{20} + 10}{4} = \frac{28 + 12\sqrt{5}}{4} = 7 + 3\sqrt{5}$

$\frac{1}{a} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4}$

$\frac{4}{a^2} = 14$ より

$a^2 = \frac{a^4 - 24}{a^2} - 1= a^2 - \frac{24}{a^2} - 1$

$a^2 = 7 + 3\sqrt{5}$.

$\frac{1}{a^2} = \frac{1}{7 + 3\sqrt{5}} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{49 - 45} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{4}$

$\frac{24}{a^2} = 24 \cdot \frac{7 - 3\sqrt{5}}{4} = 6(7 - 3\sqrt{5}) = 42 - 18\sqrt{5}$

$a^2 - \frac{24}{a^2} - 1 = (7 + 3\sqrt{5}) - (42 - 18\sqrt{5}) - 1 = 7 + 3\sqrt{5} - 42 + 18\sqrt{5} - 1 = -36 + 21\sqrt{5}$

$\frac{a^4-16}{a^2} - \frac{8}{a^2} -1 = a^2 - \frac{16}{a^2} - \frac{8}{a^2}-1 = a^2 - \frac{24}{a^2} - 1 = 14 - \frac{24}{\frac{4}{14}} - 1$

別解

$\frac{a^4 - 16}{a^2} - \frac{8}{a^2} - 1 = \frac{a^4 - 16 - 8}{a^2} - 1 = \frac{a^4 - 24}{a^2} - 1 = \frac{a^4-24 - a^2}{a^2}$

$a^2 - \frac{24}{a^2} - 1$.

$(a + \frac{2}{a}) = 3\sqrt{2}$より、$a^2 - (3\sqrt{2})a + 2 = 0$.

また、$a^2+\frac{4}{a^2}= 14$

$\frac{a^4 - 24}{a^2} - 1 = a^2 - \frac{24}{a^2} - 1$

= a^2 + \frac{4}{a^2} - \frac{28}{a^2} - 1 = 14 - 1 - 24/ \frac{4}{\frac{14}} = 13 -24 \cdot 14/4= 13 - 6 \cdot 14 = 13 - 84= -71.

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$, $a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$

(3) $\frac{a^4 - 16}{a^2} - \frac{8}{a^2} - 1 = -71$