与えられた3つの等式を証明する問題です。 (1) $(x-2y)^2 + (x+2y)^2 = 2(x^2 + 4y^2)$ (2) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、 $\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$ (3) $x+y=1$ のとき、$x^2 + y^2 + 1 = 2(x+y-xy)$

1. 問題の内容

与えられた3つの等式を証明する問題です。

(1) $(x-2y)^2 + (x+2y)^2 = 2(x^2 + 4y^2)$

(2) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、 $\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$

(3) $x+y=1$ のとき、$x^2 + y^2 + 1 = 2(x+y-xy)$

2. 解き方の手順

(1)

左辺を展開し、整理します。

$(x-2y)^2 + (x+2y)^2 = (x^2 - 4xy + 4y^2) + (x^2 + 4xy + 4y^2) = 2x^2 + 8y^2 = 2(x^2 + 4y^2)$

これは右辺に等しいです。

(2)

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ とおくと、$a = bk$ および $c = dk$ となります。

左辺は $\frac{a}{a+b} = \frac{bk}{bk+b} = \frac{bk}{b(k+1)} = \frac{k}{k+1}$

右辺は $\frac{c}{c+d} = \frac{dk}{dk+d} = \frac{dk}{d(k+1)} = \frac{k}{k+1}$

したがって、左辺 = 右辺です。

(3)

$x+y = 1$ なので、$y = 1-x$ です。

左辺は、$x^2 + y^2 + 1 = x^2 + (1-x)^2 + 1 = x^2 + 1 - 2x + x^2 + 1 = 2x^2 - 2x + 2$

右辺は、$2(x+y-xy) = 2(1 - x(1-x)) = 2(1-x+x^2) = 2 - 2x + 2x^2 = 2x^2 - 2x + 2$

したがって、左辺 = 右辺です。

3. 最終的な答え

(1) $(x-2y)^2 + (x+2y)^2 = 2(x^2 + 4y^2)$ は成立します。

(2) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、 $\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$ は成立します。

(3) $x+y=1$ のとき、$x^2 + y^2 + 1 = 2(x+y-xy)$ は成立します。