(1) 2次方程式 $x^2 - x - 3 = 0$ の異なる2つの実数解のうち、小さい方を $a$ とするとき、$a + \frac{1}{a}$ と $a^2 + \frac{1}{a^2}$ の値を求める問題。 (2) 100以上200以下の自然数の集合を全体集合とする。$A = \{ n \mid n \text{は6で割り切れる自然数} \}$、$B = \{ n \mid n \text{は8で割り切れる自然数} \}$ とするとき、集合 $A \cap B$ の要素の個数と、集合 $\overline{A \cup B}$ の要素の個数を求める問題。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $x^2 - x - 3 = 0$ の異なる2つの実数解のうち、小さい方を $a$ とするとき、$a + \frac{1}{a}$ と $a^2 + \frac{1}{a^2}$ の値を求める問題。

(2) 100以上200以下の自然数の集合を全体集合とする。$A = \{ n \mid n \text{は6で割り切れる自然数} \}$、$B = \{ n \mid n \text{は8で割り切れる自然数} \}$ とするとき、集合 $A \cap B$ の要素の個数と、集合 $\overline{A \cup B}$ の要素の個数を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

2次方程式 $x^2 - x - 3 = 0$ を解く。解の公式より、

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$

$a$ は小さい方の解なので、$a = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$

$a + \frac{1}{a} = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} + \frac{2}{1 - \sqrt{13}} = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} + \frac{2(1 + \sqrt{13})}{(1 - \sqrt{13})(1 + \sqrt{13})} = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} + \frac{2(1 + \sqrt{13})}{1 - 13} = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} + \frac{2(1 + \sqrt{13})}{-12} = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} - \frac{1 + \sqrt{13}}{6} = \frac{3(1 - \sqrt{13}) - (1 + \sqrt{13})}{6} = \frac{3 - 3\sqrt{13} - 1 - \sqrt{13}}{6} = \frac{2 - 4\sqrt{13}}{6} = \frac{1 - 2\sqrt{13}}{3}$

$a^2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 - 2 = (\frac{1 - 2\sqrt{13}}{3})^2 - 2 = \frac{1 - 4\sqrt{13} + 4(13)}{9} - 2 = \frac{1 - 4\sqrt{13} + 52}{9} - 2 = \frac{53 - 4\sqrt{13}}{9} - \frac{18}{9} = \frac{35 - 4\sqrt{13}}{9}$

(2)

$A \cap B$ は6でも8でも割り切れる数、つまり最小公倍数24で割り切れる数。

100以上200以下の24の倍数は、$24 \times 5 = 120$, $24 \times 6 = 144$, $24 \times 7 = 168$, $24 \times 8 = 192$ の4つ。

したがって、$A \cap B$ の要素の個数は4。

全体集合を $U$ とする。$|U| = 200 - 100 + 1 = 101$

$A = \{ n \mid n \text{は6で割り切れる数} \}$。100以上200以下の6の倍数は、

$6 \times 17 = 102, \dots, 6 \times 33 = 198$ の $33 - 17 + 1 = 17$ 個。

$B = \{ n \mid n \text{は8で割り切れる数} \}$。100以上200以下の8の倍数は、

$8 \times 13 = 104, \dots, 8 \times 24 = 192$ の $24 - 13 + 1 = 12$ 個。

$A \cup B$ の要素の個数 $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 17 + 12 - 4 = 25$

$\overline{A \cup B}$ の要素の個数は、 $|U| - |A \cup B| = 101 - 25 = 76$

$100\le6k\le200$を満たす$k$の個数は$\lfloor \frac{200}{6}\rfloor-\lfloor\frac{99}{6}\rfloor = 33-16 = 17$

$100\le8k\le200$を満たす$k$の個数は$\lfloor \frac{200}{8}\rfloor-\lfloor\frac{99}{8}\rfloor = 25-12=13$

$100\le24k\le200$を満たす$k$の個数は$\lfloor \frac{200}{24}\rfloor-\lfloor\frac{99}{24}\rfloor = 8-4=4$

$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=17+13-4=26$

$\overline{A\cup B}=101-26=75$

3. 最終的な答え

1: $\frac{1 - 2\sqrt{13}}{3}$

2: $\frac{35 - 4\sqrt{13}}{9}$

3: 4

4: 75