25本のくじの中に5本の当たりくじがある。a, bの2人がこの順にくじを引くとき、以下の確率を求める。 (1) aが当たり、bがはずれる確率 (2) a, bの2人ともはずれる確率 (3) a, bのうち少なくとも1人が当たる確率

1. 問題の内容

25本のくじの中に5本の当たりくじがある。a, bの2人がこの順にくじを引くとき、以下の確率を求める。

(1) aが当たり、bがはずれる確率

(2) a, bの2人ともはずれる確率

(3) a, bのうち少なくとも1人が当たる確率

2. 解き方の手順

(1) aが当たり、bがはずれる確率

aが当たる確率は $\frac{5}{25}$。aが当たった後、残りのくじは24本で、当たりくじは4本、はずれくじは20本。よってbがはずれる確率は $\frac{20}{24}$。

したがって、求める確率は

$P(a当たり, bはずれ) = \frac{5}{25} \times \frac{20}{24} = \frac{1}{5} \times \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$

(2) a, bの2人ともはずれる確率

aがはずれる確率は $\frac{20}{25}$。aがはずれた後、残りのくじは24本で、当たりくじは5本、はずれくじは19本。よってbがはずれる確率は $\frac{19}{24}$。

したがって、求める確率は

$P(aはずれ, bはずれ) = \frac{20}{25} \times \frac{19}{24} = \frac{4}{5} \times \frac{19}{24} = \frac{19}{30}$

(3) a, bのうち少なくとも1人が当たる確率

これは余事象を考えると計算が楽になる。少なくとも1人が当たる事象の余事象は、2人ともはずれる事象である。(2)で2人ともはずれる確率を求めたので、それを利用する。

$P(少なくとも1人当たる) = 1 - P(2人ともはずれる) = 1 - \frac{19}{30} = \frac{11}{30}$

または、

aが当たってbがはずれる確率 + aがはずれてbが当たる確率 + aもbも当たる確率　で求めることもできる。

aがはずれてbが当たる確率は

$P(aはずれ, b当たり) = \frac{20}{25} \times \frac{5}{24} = \frac{4}{5} \times \frac{5}{24} = \frac{1}{6}$

aもbも当たる確率は

$P(a当たり, b当たり) = \frac{5}{25} \times \frac{4}{24} = \frac{1}{5} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{30}$

したがって、求める確率は

$\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{30} = \frac{5+5+1}{30} = \frac{11}{30}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6}$

(2) $\frac{19}{30}$

(3) $\frac{11}{30}$