工場で作られたクッキーのうち、不良品の割合が $\frac{1}{9}$ である。不良品でないクッキーのみを入れた箱から100個を非復元抽出する。抽出したクッキー1個の重量について、平均は9.5(g)、標準偏差は3(g)であった。100は十分大きいとして、不良品でないクッキー1個の母平均重量 $p$ (g)に対する信頼度95%の信頼区間を求める。

1. 問題の内容

工場で作られたクッキーのうち、不良品の割合が $\frac{1}{9}$ である。不良品でないクッキーのみを入れた箱から100個を非復元抽出する。抽出したクッキー1個の重量について、平均は9.5(g)、標準偏差は3(g)であった。100は十分大きいとして、不良品でないクッキー1個の母平均重量 $p$ (g)に対する信頼度95%の信頼区間を求める。

2. 解き方の手順

信頼度95%の信頼区間は、標本平均 $\bar{x}$ と標準誤差 $SE$ を用いて、

$\bar{x} \pm z \cdot SE$

で表される。ここで $z$ は標準正規分布における95%信頼区間の $z$ 値であり、およそ1.96である。

まず、標準誤差 $SE$ を求める。標本標準偏差 $s$ は3(g)であり、サンプルサイズ $n$ は100であるから、標準誤差は

$SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{3}{\sqrt{100}} = \frac{3}{10} = 0.3$

となる。

次に、信頼区間の上限と下限を計算する。

下限: $\bar{x} - z \cdot SE = 9.5 - 1.96 \cdot 0.3 = 9.5 - 0.588 = 8.912$

上限: $\bar{x} + z \cdot SE = 9.5 + 1.96 \cdot 0.3 = 9.5 + 0.588 = 10.088$

問題文の指示により、小数第2位まで求めるため、小数第3位を四捨五入する。

下限: 8.91

上限: 10.09

したがって、信頼度95%の信頼区間は、

$8.91 \le p \le 10.09$

となる。

3. 最終的な答え

8. 91 ≤ p ≤

1

0. 09