右図のような道路において、P地点から出発し、規則に従って進むとき、以下の問いに答える問題です。 (1) A地点に到達する確率を求める。 (2) B地点に到達する確率を求め、A, B, Cのいずれかの地点に到達した場合に得られる点数を用いて、このゲームで得られる点数の期待値を求める。 規則： (I) 南に進んでいるとき、分岐点に着いたら、サイコロを投げて4以下の目が出たら東または西に進み、5以上の目が出たら直進する。 (II) 東または西に進んでいるとき、分岐点に着いたら必ず曲がり、南に進む。

## 問題の解説

1. **問題の内容**

右図のような道路において、P地点から出発し、規則に従って進むとき、以下の問いに答える問題です。

(1) A地点に到達する確率を求める。

(2) B地点に到達する確率を求め、A, B, Cのいずれかの地点に到達した場合に得られる点数を用いて、このゲームで得られる点数の期待値を求める。

規則：

(I) 南に進んでいるとき、分岐点に着いたら、サイコロを投げて4以下の目が出たら東または西に進み、5以上の目が出たら直進する。

(II) 東または西に進んでいるとき、分岐点に着いたら必ず曲がり、南に進む。

2. **解き方の手順**

(1) A地点に到達する確率

* PからAへ直接進む場合：サイコロを投げて5以上の目が出る必要があるので、確率は$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。

* Pから東に進み、その後Aに進む場合：サイコロを投げて4以下の目が出た後、再びサイコロを投げて4以下の目が出れば良い。確率は$\frac{4}{6} \times \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

* Pから西に進み、その後Aに進む場合：サイコロを投げて4以下の目が出た後、再びサイコロを投げて5以上の目が出れば良い。確率は$\frac{4}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$

したがって、Aに到達する確率は、$\frac{1}{3} + \frac{4}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{4}{9} + \frac{2}{9} = \frac{9}{9} = 1$ となり、誤り。PからAには到達しないので確率0

* Pから東へ行き、その後Aへ行く確率は、$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。さらに東からAへ必ず曲がる必要があるので確率１。故に$\frac{2}{3} \times 1 = \frac{2}{3}$。しかし、東から必ず南へ行くので、Aにはたどり着かない。確率は0。

* Pから西へ行き、その後Aへ行く確率は、$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。さらに西からAへ必ず曲がる必要があるので確率１。故に$\frac{2}{3} \times 1 = \frac{2}{3}$。しかし、西から必ず南へ行くので、Aにはたどり着かない。確率は0。

したがってAに到達する確率：0

(2) B地点に到達する確率

* PからBへ直接進む場合：サイコロを投げて5以上の目が出る必要があるので、確率は$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。

* Pから東に進み、その後Bに進む場合：サイコロを投げて4以下の目が出た後、Bへ進むには必ず曲がって南へ行くので、Bにたどり着けない。確率は0

* Pから西に進み、その後Bに進む場合：サイコロを投げて4以下の目が出た後、Bへ進むには必ず曲がって南へ行くので、Bにたどり着けない。確率は0

したがってBに到達する確率は、$\frac{1}{3} + 0 + 0 = \frac{1}{3}$。

C地点に到達する確率

* PからCへ直接進む場合：サイコロを投げて5以上の目が出る必要があるので、直進してB地点へ行くしかない。よってCにはたどり着けない。

* Pから東へ行き、その後Cへ行く場合：サイコロを投げて4以下の目が出た後、必ず曲がって南へ行くので、Cにはたどり着けない。確率は0

* Pから西へ行き、その後Cへ行く場合：サイコロを投げて4以下の目が出た後、必ず曲がって南へ行くので、Cにはたどり着けない。確率は0

したがってCに到達する確率は、0

Aに到着する確率は0、Bに到着する確率は1/3、Cに到着する確率は0。

Aに到着したら1点、Bに到着したら2点、Cに到着したら3点なので、期待値は $0 \times 1 + \frac{1}{3} \times 2 + 0 \times 3 = \frac{2}{3}$。

3. **最終的な答え**

(1) A地点に到達する確率：0

(2) B地点に到達する確率：$\frac{1}{3}$

ゲームで得られる点数の期待値：$\frac{2}{3}$