10個の文字 N, A, G, A, R, A, G, A, W, A を横一列に並べる。 (1) 10個の文字の並べ方は全部で何通りあるか。 (2) 「NAGARA」という連続した6文字が現れるような並べ方は全部で何通りあるか。 (3) N, R, W の3文字がこの順に現れるような並べ方は全部で何通りあるか。ただし、N, R, Wが連続しない場合も含める。

1. 問題の内容

10個の文字 N, A, G, A, R, A, G, A, W, A を横一列に並べる。

(1) 10個の文字の並べ方は全部で何通りあるか。

(2) 「NAGARA」という連続した6文字が現れるような並べ方は全部で何通りあるか。

(3) N, R, W の3文字がこの順に現れるような並べ方は全部で何通りあるか。ただし、N, R, Wが連続しない場合も含める。

2. 解き方の手順

(1) 10個の文字の並べ方

まず、10個の文字の中に重複があるかを確認する。Aが5個、Gが2個ある。

したがって、10個の文字の並べ方は、同じものを含む順列の公式を用いて計算する。

$\frac{10!}{5!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{2} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 3 = 7560$

(2) 「NAGARA」という連続した6文字が現れる並べ方

「NAGARA」を一つの塊として考える。残りの文字は A, G, A, W。

つまり、「NAGARA」, A, G, A, W の5つの要素を並べることになる。

このとき、Aが2つあるので、並べ方は $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ 通り。

(3) N, R, W の3文字がこの順に現れる並べ方

まず、N, R, W 以外の7文字 A, A, G, A, G, A, A を並べる。これは

$\frac{7!}{4!2!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{2} = 105$ 通り。

次に、並んだ7文字の間に N, R, W を入れる場所を決める。

7文字の間と両端の8箇所から3箇所を選ぶことになるので、選び方は ${}_8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通り。

したがって、N, R, W の順で現れる並べ方は $105 \times 56 = 5880$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 7560通り

(2) 60通り

(3) 5880通り