与えられた極限 $\lim_{x\to\infty} \frac{(4-b^2)x^2 + ax}{\sqrt{4x^2 + ax} + bx}$ が存在するための条件を求める問題です。特に、画像には $4-b^2 = 0$ である必要があると書かれています。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{x\to\infty} \frac{(4-b^2)x^2 + ax}{\sqrt{4x^2 + ax} + bx}$

が存在するための条件を求める問題です。特に、画像には $4-b^2 = 0$ である必要があると書かれています。

2. 解き方の手順

まず、極限が存在するための条件を考えます。

$x \to \infty$ のとき、分子の $x$ の次数が分母の $x$ の次数よりも大きいと、極限は $\infty$ か $-\infty$ に発散してしまいます。したがって、極限が存在するためには、分子の $x$ の次数が分母の $x$ の次数以下である必要があります。

分母の $x$ の次数を調べます。$\sqrt{4x^2+ax} + bx \approx \sqrt{4x^2} + bx = 2x + bx = (2+b)x$ なので、分母の $x$ の次数は1です。

もし $4-b^2 \neq 0$ であれば、分子は $(4-b^2)x^2 + ax \approx (4-b^2)x^2$となり、$x$ の次数は2となります。このとき、分子の$x$の次数が分母の$x$の次数より大きくなってしまうため、極限は発散します。

したがって、極限が存在するためには、$4-b^2 = 0$ である必要があります。

$4 - b^2 = 0$ より、$b^2 = 4$ なので、$b = \pm 2$ です。

このとき、極限は

$\lim_{x\to\infty} \frac{ax}{\sqrt{4x^2 + ax} + bx} = \lim_{x\to\infty} \frac{ax}{\sqrt{4x^2(1 + \frac{a}{4x})} + bx} = \lim_{x\to\infty} \frac{ax}{2x\sqrt{1+\frac{a}{4x}} + bx}$

$= \lim_{x\to\infty} \frac{ax}{2x(1 + \frac{a}{8x} + ...) + bx} = \lim_{x\to\infty} \frac{ax}{2x + bx + \frac{a}{4} + ...} = \lim_{x\to\infty} \frac{a}{2+b} = \frac{a}{2+b}$

極限が存在するためには、この値が存在する必要があります。

3. 最終的な答え

極限が存在するためには、$4-b^2 = 0$ である必要があります。つまり、$b = \pm 2$ です。

$b = -2$ の場合、分母が0になるため、極限は存在しません。

$b = 2$ の場合、極限は $\frac{a}{4}$ となります。

したがって、極限が存在するためには、$b = 2$ であり、$4 - b^2 = 0$ が必要です。

画像の指示通り、$4-b^2=0$ が答えです。