関数 $y = \frac{1}{x^4 + 5}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^4 + 5}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数を微分するには、合成関数の微分法（チェインルール）を使用します。

まず、$u = x^4 + 5$ とおくと、$y = \frac{1}{u} = u^{-1}$ となります。

1. $\frac{dy}{du}$ を計算します。

$y = u^{-1}$ を $u$ で微分すると、

$\frac{dy}{du} = -1 \cdot u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

2. $\frac{du}{dx}$ を計算します。

$u = x^4 + 5$ を $x$ で微分すると、

$\frac{du}{dx} = 4x^3$

3. チェインルールを使って $\frac{dy}{dx}$ を計算します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot 4x^3 = -\frac{4x^3}{u^2}$

4. $u = x^4 + 5$ を代入して、$\frac{dy}{dx}$ を $x$ の関数として表します。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{4x^3}{(x^4 + 5)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{4x^3}{(x^4 + 5)^2}$