関数 $y = \frac{x-1}{x^3+1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x-1}{x^3+1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数は商の形をしているので、商の微分公式を使います。商の微分公式は次の通りです。

$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = x-1$、$v = x^3+1$ とおきます。すると、$u' = 1$、$v' = 3x^2$ となります。

したがって、

$y' = \frac{(1)(x^3+1) - (x-1)(3x^2)}{(x^3+1)^2}$

$y' = \frac{x^3+1 - (3x^3-3x^2)}{(x^3+1)^2}$

$y' = \frac{x^3+1 - 3x^3+3x^2}{(x^3+1)^2}$

$y' = \frac{-2x^3+3x^2+1}{(x^3+1)^2}$

また、$x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$なので、$x-1$と約分できるか検討します。

$x=1$のとき、$-2x^3+3x^2+1=-2(1)^3+3(1)^2+1=-2+3+1=2 \neq 0$ なので、$x-1$と約分できません。

$x=-1$のとき、$-2x^3+3x^2+1=-2(-1)^3+3(-1)^2+1=2+3+1=6 \neq 0$ なので、$x+1$と約分できません。

3. 最終的な答え

$y' = \frac{-2x^3+3x^2+1}{(x^3+1)^2}$