$x \to \infty$ のとき、$y = e^x$ が $y = x^e$ と比較して、より急速に増大することを証明する。

1. 問題の内容

$x \to \infty$ のとき、$y = e^x$ が $y = x^e$ と比較して、より急速に増大することを証明する。

2. 解き方の手順

$x \to \infty$ のとき、$e^x$ が $x^e$ より急速に増大することを示すには、$\lim_{x \to \infty} \frac{x^e}{e^x} = 0$ を示すことができればよい。

これはロピタルの定理を用いることで示すことができる。

まず、$f(x) = x^e$ および $g(x) = e^x$ とおく。

$x \to \infty$ のとき、$f(x) \to \infty$ かつ $g(x) \to \infty$ なので、$\frac{\infty}{\infty}$ の不定形である。したがって、ロピタルの定理が適用できる。

それぞれの導関数を計算する。

$f'(x) = e x^{e-1}$

$g'(x) = e^x$

$\lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{e x^{e-1}}{e^x}$

再び $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形となるので、ロピタルの定理を適用する。

$f''(x) = e(e-1) x^{e-2}$

$g''(x) = e^x$

$\lim_{x \to \infty} \frac{f''(x)}{g''(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{e(e-1) x^{e-2}}{e^x}$

ロピタルの定理を $e$ 回適用することを考えると、分子は定数となり、分母は $e^x$ となることが予想される。

厳密には、正の整数$n$に対して、$x^{e-n}$の指数部分が負になるまで、ロピタルの定理を繰り返し適用することを考える。

$\lceil e \rceil = k$ とおくと、$k-1 < e \le k$ である。

ロピタルの定理を $k$ 回適用すると、

$f^{(k)}(x) = e(e-1)(e-2)...(e-(k-1)) x^{e-k}$

$g^{(k)}(x) = e^x$

$\lim_{x \to \infty} \frac{f^{(k)}(x)}{g^{(k)}(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{e(e-1)(e-2)...(e-(k-1)) x^{e-k}}{e^x}$

ここで、指数 $e-k < 0$ なので、$x^{e-k} = \frac{1}{x^{k-e}}$ となる。したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{e(e-1)(e-2)...(e-(k-1))}{x^{k-e} e^x} = 0$

したがって、$\lim_{x \to \infty} \frac{x^e}{e^x} = 0$ となるので、$x \to \infty$ のとき、$e^x$ は $x^e$ より急速に増大する。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^e}{e^x} = 0$ より、$x \to \infty$ のとき、$e^x$ は $x^e$ より急速に増大する。