関数 $y = \frac{1}{x^3+1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^3+1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

$y = \frac{1}{x^3+1}$ を微分するために、商の微分公式または合成関数の微分公式を用いる。ここでは、合成関数の微分公式を用いる。

まず、$y = (x^3 + 1)^{-1}$ と変形する。

次に、合成関数の微分公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を用いる。

ここで、 $u = x^3 + 1$ とすると、$y = u^{-1}$となる。

$\frac{dy}{du} = -1 \cdot u^{-2} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

$\frac{du}{dx} = 3x^2$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot 3x^2 = -\frac{3x^2}{(x^3+1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2}{(x^3+1)^2}$