関数 $y = \frac{1}{x^4 + 5}$ を微分する。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^4 + 5}$ を微分する。

2. 解き方の手順

まず、$y = \frac{1}{x^4 + 5}$ を $y = (x^4 + 5)^{-1}$ と書き換えます。

次に、合成関数の微分公式（チェーンルール）を使用します。チェーンルールは、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ で表されます。

ここでは、 $u = x^4 + 5$ とおくと、$y = u^{-1}$ となります。

したがって、$\frac{dy}{du} = -u^{-2}$ と $\frac{du}{dx} = 4x^3$ が得られます。

チェーンルールを適用すると、

$$$$

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -u^{-2} \cdot 4x^3 = -(x^4 + 5)^{-2} \cdot 4x^3

$$$$

となります。

最後に、式を整理します。

$$$$

\frac{dy}{dx} = -\frac{4x^3}{(x^4 + 5)^2}

$$$$

3. 最終的な答え

$$$$

\frac{dy}{dx} = -\frac{4x^3}{(x^4 + 5)^2}

$$$$