$y = \frac{x^3 - 4x + 2}{x - 2}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

$y = \frac{x^3 - 4x + 2}{x - 2}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、分子を分母で割って式を簡単にします。

$x^3 - 4x + 2$ を $x-2$ で割ると、次のようになります。

$x^3 - 4x + 2 = (x-2)(x^2 + 2x) + 2$

したがって、

$y = \frac{(x-2)(x^2 + 2x) + 2}{x-2} = x^2 + 2x + \frac{2}{x-2}$

次に、$y$ を $x$ で微分します。

$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

$\frac{d}{dx}(2x) = 2$

$\frac{d}{dx}(\frac{2}{x-2}) = \frac{d}{dx}(2(x-2)^{-1}) = -2(x-2)^{-2} = -\frac{2}{(x-2)^2}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 2x + 2 - \frac{2}{(x-2)^2}$

これを整理すると、

$\frac{dy}{dx} = 2x + 2 - \frac{2}{(x-2)^2} = \frac{(2x+2)(x-2)^2 - 2}{(x-2)^2} = \frac{(2x+2)(x^2 - 4x + 4) - 2}{(x-2)^2} = \frac{2x^3 - 8x^2 + 8x + 2x^2 - 8x + 8 - 2}{(x-2)^2} = \frac{2x^3 - 6x^2 + 6}{(x-2)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^3 - 6x^2 + 6}{(x-2)^2}$