$x \to \infty$ のとき、$y = e^x$ が $y = x^e$ よりも急速に増大することを証明します。

1. 問題の内容

$x \to \infty$ のとき、$y = e^x$ が $y = x^e$ よりも急速に増大することを証明します。

2. 解き方の手順

$x \to \infty$ において、$e^x$ が $x^e$ よりも急速に増大することを示すには、極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{x^e}{e^x}$ が 0 であることを示せば良いです。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^e}{e^x}$ を計算するために、ロピタルの定理を適用します。ロピタルの定理は、$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$ の形が $\frac{\infty}{\infty}$ または $\frac{0}{0}$ である場合に適用できます。この場合、$\lim_{x \to \infty} x^e = \infty$ および $\lim_{x \to \infty} e^x = \infty$ であるため、$\frac{\infty}{\infty}$ の形なので、ロピタルの定理を適用できます。

$\frac{x^e}{e^x}$ を微分すると、

$\frac{d}{dx}(x^e) = ex^{e-1}$

$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$

となります。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{ex^{e-1}}{e^x}$

となります。

この極限も $\frac{\infty}{\infty}$ の形なので、ロピタルの定理を再度適用できます。

$e$ が整数でない場合は、$e$ 回微分する必要があります。もし、$e$ が整数であれば、$e$ 回微分すると、$x^e$ の微分は定数になります。一般的に、$n$ 回ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{e(e-1)(e-2)...(e-n+1)x^{e-n}}{e^x}$

となります。

最終的に、$e-n < 0$ となる $n$ を選択すると、分子の $x$ の指数が負になります。つまり、分子は $x \to \infty$ で 0 に収束します。一方、分母は $e^x$ なので、$\infty$ に発散します。したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{C}{x^k e^x} = 0$

ここで、$C$ は定数、$k > 0$ です。

厳密には、$e$ が整数か否かで場合分けして考えることもできますが、ロピタルの定理を繰り返すことで、最終的には分母の $e^x$ の増加速度が分子の $x$ のべき乗の増加速度を上回るため、極限は0になるという考え方で十分です。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^e}{e^x} = 0$

したがって、$x \to \infty$ のとき、$y = e^x$ は $y = x^e$ よりも急速に増大します。