関数 $y = \frac{1}{x^3 + 3x^2 + 1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^3 + 3x^2 + 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、関数を $y = (x^3 + 3x^2 + 1)^{-1}$ と書き換えます。次に、合成関数の微分法（連鎖律）を用います。連鎖律とは、関数 $y = f(g(x))$ の微分が $dy/dx = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ で与えられるというものです。

この問題では、$f(u) = u^{-1}$ と $g(x) = x^3 + 3x^2 + 1$ と考えます。

まず、$f(u)$ の微分を計算します。

$f'(u) = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

次に、$g(x)$ の微分を計算します。

$g'(x) = 3x^2 + 6x$

したがって、$y$ の微分は次のようになります。

$\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\frac{1}{(x^3 + 3x^2 + 1)^2} \cdot (3x^2 + 6x)$

整理すると、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 + 6x}{(x^3 + 3x^2 + 1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 + 6x}{(x^3 + 3x^2 + 1)^2}$