関数 $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数を微分するには、商の微分公式または合成関数の微分公式（チェーンルール）を用いることができます。ここでは、合成関数の微分公式を使います。

まず、$y$を$u$の関数として、$u$を$x$の関数として表します。

$u = x^2 - 1$とおくと、$y = \frac{1}{u} = u^{-1}$となります。

次に、$y$を$u$で微分し、$u$を$x$で微分します。

$\frac{dy}{du} = -1 \cdot u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

最後に、合成関数の微分公式を使って、$\frac{dy}{dx}$を求めます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2 - 1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{(x^2 - 1)^2}$