問題は、与えられたグラフ（ノイズB）を表す関数 $y = 2\sin x + 2\cos x$ (①) について、グラフから読み取れる値 $a$ を求め、①の右辺を合成したときの係数 $b$ と位相 $c$ の正しい組み合わせを選択し、さらに、ノイズBを打ち消す波B'を表す関数 $y = -2\sin x - 2\cos x$ (②) の右辺を合成した式を求めるものです。

1. 問題の内容

問題は、与えられたグラフ（ノイズB）を表す関数 $y = 2\sin x + 2\cos x$ (①) について、グラフから読み取れる値 $a$ を求め、①の右辺を合成したときの係数 $b$ と位相 $c$ の正しい組み合わせを選択し、さらに、ノイズBを打ち消す波B'を表す関数 $y = -2\sin x - 2\cos x$ (②) の右辺を合成した式を求めるものです。

2. 解き方の手順

(エ) $a$ の値を求める:

グラフから、$a$ は関数の最大値を与える $y$ の値であることがわかります。関数 $y = 2\sin x + 2\cos x$ を合成すると、

$y = 2\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$ となります。従って、$a$ は $2\sqrt{2}$ です。

(オ) $b$ と $c$ の値を求める:

関数 $y = 2\sin x + 2\cos x$ を合成します。

$y = \sqrt{2^2 + 2^2} \sin(x + \alpha)$

$y = \sqrt{8} \sin(x + \alpha)$

$y = 2\sqrt{2} \sin(x + \alpha)$

ここで、$\cos \alpha = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin \alpha = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$\alpha = \frac{\pi}{4}$ です。

よって、$y = 2\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$ となり、$b = 2\sqrt{2}$, $c = \frac{\pi}{4}$ となります。

選択肢の中から、$b = 2\sqrt{2}$, $c = \frac{\pi}{4}$ となるものを選ぶと、(1)が該当します。しかし、グラフから $c$はマイナスであることがわかるので、$y = 2\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})=2\sqrt{2}\cos(x-\frac{\pi}{4})$を参考にすると、グラフの形と合わせて、$c = -\frac{\pi}{4}$ と判断できる。よって、オは(1)となります。

(カ) $y = -2\sin x - 2\cos x$ を合成する:

$y = -2\sin x - 2\cos x = -2(\sin x + \cos x)$

$y = -2\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$

$y = -2\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$ なので、カは(2)となります。

3. 最終的な答え

エ: $2\sqrt{2}$

オ: (1)

カ: (2)