男子7人、女子3人の計10人の中から4人を選ぶとき、選び方は何通りあるか。

1. 問題の内容

男子7人、女子3人の計10人の中から4人を選ぶとき、選び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

4人の選び方は、以下のケースに分けて考えます。

* (i) 男子4人、女子0人

* (ii) 男子3人、女子1人

* (iii) 男子2人、女子2人

* (iv) 男子1人、女子3人

それぞれのケースの選び方を計算し、合計することで、全体の選び方を求めることができます。

(i) 男子4人、女子0人を選ぶ場合：

男子7人から4人を選ぶ組み合わせの数は、$_7C_4$で計算できます。

$_7C_4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り

(ii) 男子3人、女子1人を選ぶ場合：

男子7人から3人を選ぶ組み合わせの数は、$_7C_3$で計算できます。女子3人から1人を選ぶ組み合わせの数は、$_3C_1$で計算できます。

$_7C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り

$_3C_1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = 3$通り

したがって、男子3人、女子1人を選ぶ組み合わせの数は、$35 \times 3 = 105$通りです。

(iii) 男子2人、女子2人を選ぶ場合：

男子7人から2人を選ぶ組み合わせの数は、$_7C_2$で計算できます。女子3人から2人を選ぶ組み合わせの数は、$_3C_2$で計算できます。

$_7C_2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$通り

$_3C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通り

したがって、男子2人、女子2人を選ぶ組み合わせの数は、$21 \times 3 = 63$通りです。

(iv) 男子1人、女子3人を選ぶ場合：

男子7人から1人を選ぶ組み合わせの数は、$_7C_1$で計算できます。女子3人から3人を選ぶ組み合わせの数は、$_3C_3$で計算できます。

$_7C_1 = \frac{7!}{1!(7-1)!} = \frac{7!}{1!6!} = 7$通り

$_3C_3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = 1$通り

したがって、男子1人、女子3人を選ぶ組み合わせの数は、$7 \times 1 = 7$通りです。

全体の選び方は、各ケースの選び方を合計します。

$35 + 105 + 63 + 7 = 210$通り

3. 最終的な答え

210通り