$\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ かつ $\cos\alpha = -\frac{3}{5}$ のとき、$\sin\frac{\alpha}{2}$ と $\cos\frac{\alpha}{2}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ かつ $\cos\alpha = -\frac{3}{5}$ のとき、$\sin\frac{\alpha}{2}$ と $\cos\frac{\alpha}{2}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\alpha$ の範囲から $\frac{\alpha}{2}$ の範囲を求めます。

$\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ の各辺を2で割ると、

$\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4}$

したがって、$\frac{\alpha}{2}$ は第2象限の角です。

次に、$\cos\alpha$ から $\sin\alpha$ を求めます。

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ より、

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\sin\alpha = \pm\frac{4}{5}$

$\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ なので、$\sin\alpha < 0$ です。

よって、$\sin\alpha = -\frac{4}{5}$

次に、半角の公式を利用します。

$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{3}{5})}{2} = \frac{1 + \frac{3}{5}}{2} = \frac{\frac{8}{5}}{2} = \frac{4}{5}$

$\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{4}{5}} = \pm\frac{2}{\sqrt{5}} = \pm\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4}$ より $\sin\frac{\alpha}{2} > 0$ なので、

$\sin\frac{\alpha}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2} = \frac{1 + (-\frac{3}{5})}{2} = \frac{1 - \frac{3}{5}}{2} = \frac{\frac{2}{5}}{2} = \frac{1}{5}$

$\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1}{5}} = \pm\frac{1}{\sqrt{5}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4}$ より $\cos\frac{\alpha}{2} < 0$ なので、

$\cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\sin\frac{\alpha}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$