与えられた三角関数の和を積の形に変形する問題です。 (1) $\sin 5\theta + \sin 3\theta$ (2) $\cos 5\theta + \cos 7\theta$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の和を積の形に変形する問題です。

(1) $\sin 5\theta + \sin 3\theta$

(2) $\cos 5\theta + \cos 7\theta$

2. 解き方の手順

(1) $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ の公式を用いる。

$A = 5\theta$, $B = 3\theta$ とすると、

$\sin 5\theta + \sin 3\theta = 2 \sin \frac{5\theta+3\theta}{2} \cos \frac{5\theta-3\theta}{2} = 2 \sin \frac{8\theta}{2} \cos \frac{2\theta}{2} = 2 \sin 4\theta \cos \theta$

(2) $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ の公式を用いる。

$A = 5\theta$, $B = 7\theta$ とすると、

$\cos 5\theta + \cos 7\theta = 2 \cos \frac{5\theta+7\theta}{2} \cos \frac{5\theta-7\theta}{2} = 2 \cos \frac{12\theta}{2} \cos \frac{-2\theta}{2} = 2 \cos 6\theta \cos (-\theta)$

$\cos(-\theta) = \cos \theta$ なので、$\cos 5\theta + \cos 7\theta = 2 \cos 6\theta \cos \theta$

3. 最終的な答え

(1) $2 \sin 4\theta \cos \theta$

(2) $2 \cos 6\theta \cos \theta$