与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 4 \\ 2 & 5 & 3 \end{bmatrix}$ に対して、以下の問題を解く。 (1) Aの余因子をすべて求める。 (2) Aの余因子行列 $\tilde{A}$ を求める。 (3) Aの行列式 $|A|$ を求める。 (4) Aの逆行列 $A^{-1}$ を求める。 (5) $A^{-1}A = E$ を確認する。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 4 \\ 2 & 5 & 3 \end{bmatrix}$ に対して、以下の問題を解く。

(1) Aの余因子をすべて求める。

(2) Aの余因子行列 $\tilde{A}$ を求める。

(3) Aの行列式 $|A|$ を求める。

(4) Aの逆行列 $A^{-1}$ を求める。

(5) $A^{-1}A = E$ を確認する。

2. 解き方の手順

(1) 余因子の計算

行列 $A$ の $(i,j)$ 成分の余因子 $C_{ij}$ は、$(i,j)$ 成分を除いた行列式の符号付きのものです。具体的には、

$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ で計算されます。ここで、$M_{ij}$ は $(i,j)$ 成分を除いた小行列の行列式です。

$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = 0 \cdot 3 - 4 \cdot 5 = -20$

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -( (-1) \cdot 3 - 4 \cdot 2 ) = -(-3-8) = 11$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 5 - 0 \cdot 2 = -5$

$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = -( 3 \cdot 3 - 1 \cdot 5 ) = -(9-5) = -4$

$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 2 = 6-2 = 4$

$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = -( 2 \cdot 5 - 3 \cdot 2 ) = -(10-6) = -4$

$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 0 = 12$

$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = -( 2 \cdot 4 - 1 \cdot (-1) ) = -(8+1) = -9$

$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \cdot 0 - 3 \cdot (-1) = 3$

(2) 余因子行列 $\tilde{A}$ の計算

余因子行列 $\tilde{A}$ は、余因子 $C_{ij}$ を並べた行列の転置です。

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -20 & 11 & -5 \\ -4 & 4 & -4 \\ 12 & -9 & 3 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -20 & -4 & 12 \\ 11 & 4 & -9 \\ -5 & -4 & 3 \end{bmatrix}$

(3) 行列式 $|A|$ の計算

行列式 $|A|$ は、余因子展開を用いて計算できます。例えば、第1行で展開すると、

$|A| = 2C_{11} + 3C_{12} + 1C_{13} = 2(-20) + 3(11) + 1(-5) = -40 + 33 - 5 = -12$

(4) 逆行列 $A^{-1}$ の計算

逆行列 $A^{-1}$ は、$\frac{1}{|A|} \tilde{A}$ で計算されます。

$A^{-1} = \frac{1}{-12} \begin{bmatrix} -20 & -4 & 12 \\ 11 & 4 & -9 \\ -5 & -4 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & -1 \\ -\frac{11}{12} & -\frac{1}{3} & \frac{3}{4} \\ \frac{5}{12} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{4} \end{bmatrix}$

(5) $A^{-1}A = E$ の確認

$A^{-1}A = \begin{bmatrix} \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & -1 \\ -\frac{11}{12} & -\frac{1}{3} & \frac{3}{4} \\ \frac{5}{12} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 4 \\ 2 & 5 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = E$

3. 最終的な答え

(1) 余因子:

$C_{11} = -20$, $C_{12} = 11$, $C_{13} = -5$,

$C_{21} = -4$, $C_{22} = 4$, $C_{23} = -4$,

$C_{31} = 12$, $C_{32} = -9$, $C_{33} = 3$

(2) 余因子行列:

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} -20 & -4 & 12 \\ 11 & 4 & -9 \\ -5 & -4 & 3 \end{bmatrix}$

(3) 行列式:

$|A| = -12$

(4) 逆行列:

$A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & -1 \\ -\frac{11}{12} & -\frac{1}{3} & \frac{3}{4} \\ \frac{5}{12} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{4} \end{bmatrix}$

(5) 確認:

$A^{-1}A = E$