関数 $y = \sqrt{3}\sin{x} - \cos{x}$ の、$0 \leq x < 2\pi$ における最大値、最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{3}\sin{x} - \cos{x}$ の、$0 \leq x < 2\pi$ における最大値、最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sqrt{3}\sin{x} - \cos{x}$ を三角関数の合成を用いて変形します。

$\sqrt{3} = 2 \cos{(\pi/6)}$、 $-1 = 2 \sin{(\pi/6)}$ と考えると、

$$y = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{x} - \frac{1}{2}\cos{x}\right) = 2\left(\cos{\frac{\pi}{6}}\sin{x} + \sin{\frac{\pi}{6}}(-\cos{x})\right)$$

ここで、$y$の符号を反転させると、

$$-y = 2\left(\cos{\frac{\pi}{6}}(-\sin{x}) + \sin{\frac{\pi}{6}}\cos{x}\right)$$

$$-y = -2 \left( \sin{x}\cos{\frac{\pi}{6}} - \cos{x} \sin{\frac{\pi}{6}} \right)$$

ここで三角関数の加法定理より、

$$\sin{(x - \pi/6)} = \sin{x}\cos{\frac{\pi}{6}} - \cos{x}\sin{\frac{\pi}{6}}$$

したがって、

$$y = 2\sin{\left(x + \frac{5\pi}{6}\right)}$$

与えられた範囲 $0 \leq x < 2\pi$ より、$\frac{5\pi}{6} \leq x + \frac{5\pi}{6} < \frac{17\pi}{6}$

この範囲で、$\sin{(x + \frac{5\pi}{6})}$ が最大値1をとるのは、$x + \frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ のとき。つまり、$x = \frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{3}$。しかしこれは$0 \leq x < 2\pi$を満たさない。よって、$\sin{(x+\frac{5\pi}{6})} = 1$ となるのは、$x + \frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$ のとき。つまり、$x = \frac{5\pi}{2} - \frac{5\pi}{6} = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$

$\sin{(x + \frac{5\pi}{6})}$ が最小値-1をとるのは、$x + \frac{5\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$ のとき。つまり、$x = \frac{3\pi}{2} - \frac{5\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$

したがって、最大値は $y = 2 \cdot 1 = 2$ で、このときの $x$ は $\frac{5\pi}{3}$

最小値は $y = 2 \cdot (-1) = -2$ で、このときの $x$ は $\frac{2\pi}{3}$

3. 最終的な答え

最大値: $2$ ($x = \frac{5\pi}{3}$ のとき)

最小値: $-2$ ($x = \frac{2\pi}{3}$ のとき)