曲線 $y = \sqrt{4-x^2}$ の $0 \le x \le 2$ における長さを求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y = \sqrt{4-x^2}$ の $0 \le x \le 2$ における長さを求めます。

2. 解き方の手順

曲線の長さは以下の公式で求められます。

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$

まず、$y$ を $x$ で微分します。

$y = \sqrt{4-x^2}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{4-x^2}} (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}$

次に、$1 + (\frac{dy}{dx})^2$ を計算します。

$1 + (\frac{dy}{dx})^2 = 1 + (\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}})^2 = 1 + \frac{x^2}{4-x^2} = \frac{4-x^2+x^2}{4-x^2} = \frac{4}{4-x^2}$

よって、$\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = \sqrt{\frac{4}{4-x^2}} = \frac{2}{\sqrt{4-x^2}}$

曲線の長さは、

$L = \int_{0}^{2} \frac{2}{\sqrt{4-x^2}} dx$

ここで、$x = 2\sin\theta$ と置換すると、$dx = 2\cos\theta d\theta$ となり、

$x=0$ のとき $2\sin\theta = 0$ より $\theta = 0$、

$x=2$ のとき $2\sin\theta = 2$ より $\sin\theta = 1$ なので $\theta = \frac{\pi}{2}$ となる。

また $\sqrt{4-x^2} = \sqrt{4-4\sin^2\theta} = \sqrt{4(1-\sin^2\theta)} = \sqrt{4\cos^2\theta} = 2\cos\theta$

$L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{2\cos\theta} (2\cos\theta) d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 d\theta = [2\theta]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2(\frac{\pi}{2}) - 2(0) = \pi$

3. 最終的な答え

$\pi$