(1) $z = \sin(xy)$ の全微分を求めよ。 (2) $d(u+v) = du + dv$, $d(uv) = vdu + udv$, $d(\frac{v}{u}) = \frac{udv - vdu}{u^2}$ を証明せよ。 (3) $f = r\sin^2\theta$, $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ ($r > 0$) のとき、$x, y$ に関する全微分 $df = adx + bdy$ を考える。$(x, y) = (1, 1)$ での $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $z = \sin(xy)$ の全微分を求めよ。

(2) $d(u+v) = du + dv$, $d(uv) = vdu + udv$, $d(\frac{v}{u}) = \frac{udv - vdu}{u^2}$ を証明せよ。

(3) $f = r\sin^2\theta$, $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ ($r > 0$) のとき、$x, y$ に関する全微分 $df = adx + bdy$ を考える。$(x, y) = (1, 1)$ での $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $z = \sin(xy)$ の全微分を求める。

全微分の定義より、

$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \cos(xy) \cdot y = y\cos(xy)$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \cos(xy) \cdot x = x\cos(xy)$

よって、$dz = y\cos(xy)dx + x\cos(xy)dy$

(2)

(i) $d(u+v) = du + dv$

$d(u+v) = \frac{d(u+v)}{du}du + \frac{d(u+v)}{dv}dv= du+dv$

(ii) $d(uv) = vdu + udv$

$d(uv) = (uv)' = u'v + uv' = vdu + udv$

(iii) $d(\frac{v}{u}) = \frac{udv - vdu}{u^2}$

$d(\frac{v}{u}) = (\frac{v}{u})' = \frac{u'v - uv'}{u^2} = \frac{uv' - vu'}{u^2} = \frac{udv - vdu}{u^2}$

(3) $f = r\sin^2\theta$, $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ より、

$f = r(\frac{y}{r})^2 = \frac{y^2}{r}$.

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ だから、$f = \frac{y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^2 \cdot (-\frac{1}{2}) (x^2+y^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2x = -\frac{xy^2}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2y\sqrt{x^2+y^2} - y^2 \cdot \frac{1}{2}(x^2+y^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2y}{x^2+y^2} = \frac{2y(x^2+y^2) - y^3}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{2yx^2+y^3}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}$

$(x, y) = (1, 1)$ のとき、

$\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{1}{(1+1)^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2+1}{(1+1)^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$

したがって、$a = -\frac{\sqrt{2}}{4}$, $b = \frac{3\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $dz = y\cos(xy)dx + x\cos(xy)dy$

(2) 証明は上記参照

(3) $a = -\frac{\sqrt{2}}{4}$, $b = \frac{3\sqrt{2}}{4}$