(1) $z = \sin(xy)$ の全微分を求めます。 (2) 次の式を証明します。 $d(u+v) = du+dv$、 $d(uv) = vdu + udv$、 $d(\frac{v}{u}) = \frac{udv - vdu}{u^2}$ (3) $f = r\sin^2\theta$, $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ ($r > 0$) のとき、$x, y$ に関する全微分 $df = adx + bdy$ を考えます。$(x, y) = (1, 1)$ での $a, b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

(1) $z = \sin(xy)$ の全微分を求めます。

(2) 次の式を証明します。

$d(u+v) = du+dv$、

$d(uv) = vdu + udv$、

$d(\frac{v}{u}) = \frac{udv - vdu}{u^2}$

(3) $f = r\sin^2\theta$, $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ ($r > 0$) のとき、$x, y$ に関する全微分 $df = adx + bdy$ を考えます。$(x, y) = (1, 1)$ での $a, b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $z = \sin(xy)$ の全微分を求めます。

全微分の公式は $dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$ です。

$\frac{\partial z}{\partial x} = y\cos(xy)$

$\frac{\partial z}{\partial y} = x\cos(xy)$

よって、$dz = y\cos(xy)dx + x\cos(xy)dy$

(2)

(i) $d(u+v) = du+dv$の証明：

$d(u+v) = \frac{d(u+v)}{dx}dx = (\frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx})dx = \frac{du}{dx}dx + \frac{dv}{dx}dx = du + dv$

(ii) $d(uv) = vdu + udv$の証明：

$d(uv) = \frac{d(uv)}{dx}dx = (u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx})dx = u\frac{dv}{dx}dx + v\frac{du}{dx}dx = udv + vdu$

(iii) $d(\frac{v}{u}) = \frac{udv - vdu}{u^2}$の証明：

$d(\frac{v}{u}) = \frac{d(\frac{v}{u})}{dx}dx = \frac{u\frac{dv}{dx} - v\frac{du}{dx}}{u^2}dx = \frac{u\frac{dv}{dx}dx - v\frac{du}{dx}dx}{u^2} = \frac{udv - vdu}{u^2}$

(3) $f = r\sin^2\theta$, $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ から $r = \sqrt{x^2 + y^2}$、$\tan\theta = \frac{y}{x}$ となります。

$\theta = \arctan(\frac{y}{x})$

$f = \sqrt{x^2+y^2} (\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}})^2 = \sqrt{x^2+y^2}\frac{y^2}{x^2+y^2} = \frac{y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^2 (-\frac{1}{2}) (x^2+y^2)^{-\frac{3}{2}} (2x) = -xy^2 (x^2+y^2)^{-\frac{3}{2}} = \frac{-xy^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2y\sqrt{x^2+y^2} - y^2 \frac{2y}{2\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2} = \frac{2y(x^2+y^2) - y^3}{(x^2+y^2)^{3/2}} = \frac{2yx^2 + y^3}{(x^2+y^2)^{3/2}} = \frac{y(2x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^{3/2}}$

$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$

$df = \frac{-xy^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} dx + \frac{y(2x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^{3/2}}dy$

$(x, y) = (1, 1)$ のとき

$a = \frac{-1(1)^2}{(1^2+1^2)^{3/2}} = \frac{-1}{(2)^{3/2}} = \frac{-1}{2\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}}{4}$

$b = \frac{1(2(1)^2+(1)^2)}{(1^2+1^2)^{3/2}} = \frac{3}{(2)^{3/2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $dz = y\cos(xy)dx + x\cos(xy)dy$

(2) 上記参照

(3) $a = -\frac{\sqrt{2}}{4}$, $b = \frac{3\sqrt{2}}{4}$