次の4つの不等式を解きます。 (3) $x^2 - 2x + 3 > 0$ (4) $x^2 - 2x - 2 > 0$ (5) $x^2 - 2x + 1 < 0$ (6) $-2x^2 - 6x \geq 0$

はい、承知いたしました。画像に写っている4つの不等式を解きます。

1. 問題の内容

次の4つの不等式を解きます。

(3) $x^2 - 2x + 3 > 0$

(4) $x^2 - 2x - 2 > 0$

(5) $x^2 - 2x + 1 < 0$

(6) $-2x^2 - 6x \geq 0$

2. 解き方の手順

(3) $x^2 - 2x + 3 > 0$

* まず、$x^2 - 2x + 3 = 0$ の解を求めます。判別式 $D = (-2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8 < 0$ なので、実数解を持ちません。

* $x^2 - 2x + 3$ のグラフは下に凸な放物線で、x軸と交わらないため、常に正の値を取ります。

* したがって、$x^2 - 2x + 3 > 0$ はすべての実数 $x$ で成り立ちます。

(4) $x^2 - 2x - 2 > 0$

* $x^2 - 2x - 2 = 0$ の解を求めます。解の公式より、$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

* したがって、$x = 1 + \sqrt{3}$ と $x = 1 - \sqrt{3}$ が解です。

* $x^2 - 2x - 2 > 0$ の解は、$x < 1 - \sqrt{3}$ または $x > 1 + \sqrt{3}$ となります。

(5) $x^2 - 2x + 1 < 0$

* $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ と因数分解できます。

* $(x - 1)^2 < 0$ となる $x$ は存在しません。なぜなら、実数 $x$ に対して $(x - 1)^2$ は常に0以上になるからです。

(6) $-2x^2 - 6x \geq 0$

* $-2x^2 - 6x \geq 0$ を $-2x(x + 3) \geq 0$ と変形します。

* 両辺を-2で割ると、$x(x + 3) \leq 0$ となります。

* $x(x + 3) = 0$ の解は $x = 0$ と $x = -3$ です。

* $x(x + 3) \leq 0$ の解は $-3 \leq x \leq 0$ となります。

3. 最終的な答え

(3) すべての実数

(4) $x < 1 - \sqrt{3}$ または $x > 1 + \sqrt{3}$

(5) 解なし

(6) $-3 \leq x \leq 0$