与えられた区間における二次関数の最大値と最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた区間における二次関数の最大値と最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 + 2x (-2 \le x \le 1)$

まず、平方完成して頂点を求めます。

$y = (x+1)^2 - 1$

頂点は $(-1, -1)$ で、下に凸な放物線です。定義域 $-2 \le x \le 1$ 内に頂点が含まれます。

$x = -1$ のとき、最小値は $y = -1$ です。

$x = 1$ のとき、最大値は $y = 1^2 + 2(1) = 3$ です。

$x = -2$ のとき、$y = (-2)^2 + 2(-2) = 0$ です。

(2) $y = x^2 - 6x + 3 (0 \le x \le 6)$

平方完成して頂点を求めます。

$y = (x-3)^2 - 6$

頂点は $(3, -6)$ で、下に凸な放物線です。定義域 $0 \le x \le 6$ 内に頂点が含まれます。

$x = 3$ のとき、最小値は $y = -6$ です。

$x = 0$ のとき、$y = 0^2 - 6(0) + 3 = 3$ です。

$x = 6$ のとき、$y = 6^2 - 6(6) + 3 = 3$ です。

したがって、$x = 0$ または $x = 6$ のとき、最大値は $y = 3$ です。

(3) $y = -x^2 + 2x - 1 (-2 \le x \le 2)$

平方完成して頂点を求めます。

$y = -(x-1)^2$

頂点は $(1, 0)$ で、上に凸な放物線です。定義域 $-2 \le x \le 2$ 内に頂点が含まれます。

$x = 1$ のとき、最大値は $y = 0$ です。

$x = -2$ のとき、$y = -(-2)^2 + 2(-2) - 1 = -4 - 4 - 1 = -9$ です。

$x = 2$ のとき、$y = -(2)^2 + 2(2) - 1 = -4 + 4 - 1 = -1$ です。

したがって、$x = -2$ のとき、最小値は $y = -9$ です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 3 ($x=1$), 最小値: -1 ($x=-1$)

(2) 最大値: 3 ($x=0, 6$), 最小値: -6 ($x=3$)

(3) 最大値: 0 ($x=1$), 最小値: -9 ($x=-2$)