2次関数 $y = -2x^2 - 4x + 2a$ ($-2 \le x \le 2$) の最小値が $-3$ となるような定数 $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 - 4x + 2a$ ($-2 \le x \le 2$) の最小値が $-3$ となるような定数 $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -2x^2 - 4x + 2a = -2(x^2 + 2x) + 2a$

$y = -2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 2a$

$y = -2((x+1)^2 - 1) + 2a$

$y = -2(x+1)^2 + 2 + 2a$

この2次関数は、上に凸な放物線で、頂点の座標は $(-1, 2+2a)$ です。

定義域は $-2 \le x \le 2$ です。

軸 $x=-1$ は定義域に含まれます。

$x=-2$ のとき $y = -2(-2+1)^2 + 2 + 2a = -2(-1)^2 + 2 + 2a = -2 + 2 + 2a = 2a$

$x=2$ のとき $y = -2(2+1)^2 + 2 + 2a = -2(3)^2 + 2 + 2a = -18 + 2 + 2a = -16 + 2a$

$x=-1$ が定義域に含まれるので、最大値は頂点でとります。

定義域 $-2 \le x \le 2$ の範囲での最小値を考えます。

軸は $x=-1$ で、これは定義域に含まれます。

$x$ が $-1$ から遠いほど $y$ の値は小さくなります。

$x = 2$ のとき $y = -16 + 2a$

$x = -2$ のとき $y = 2a$

$-1$ からの距離を考えると、$2-(-1)=3$ であり、$-1-(-2)=1$ なので、$x=2$ のときが最小値を取ることがわかります。

したがって、最小値は $y = -16 + 2a$ となります。

問題文より、最小値は $-3$ なので、

$-16 + 2a = -3$

$2a = 13$

$a = \frac{13}{2}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{13}{2}$