(1) 多項式 $x^{2017}$ を多項式 $x^2 + x$ で割ったときの余りを求めよ。 (2) 多項式 $x^{2011}$ を $x^2 + 1$ で割った余りを求めよ。

はい、承知いたしました。以下の形式で解答します。

1. 問題の内容

(1) 多項式 $x^{2017}$ を多項式 $x^2 + x$ で割ったときの余りを求めよ。

(2) 多項式 $x^{2011}$ を $x^2 + 1$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$x^{2017}$ を $x^2 + x$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax + b$ とすると、

$x^{2017} = (x^2 + x)Q(x) + ax + b$

$x^{2017} = x(x+1)Q(x) + ax + b$

この式に $x = 0$ を代入すると、$0 = b$ となる。

次に、$x = -1$ を代入すると、

$(-1)^{2017} = -a + b$

$-1 = -a + 0$

$a = 1$

したがって、余りは $x$ である。

(2)

$x^{2011}$ を $x^2 + 1$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax + b$ とすると、

$x^{2011} = (x^2 + 1)Q(x) + ax + b$

$x^2 + 1 = 0$ となる $x$ は $x = i$ または $x = -i$ である。（ここで $i$ は虚数単位）

$x = i$ を代入すると、

$i^{2011} = ai + b$

$i^{2011} = i^{4 \cdot 502 + 3} = i^3 = -i$

したがって、$-i = ai + b$

実部と虚部を比較すると、$a = -1$、$b = 0$

したがって、余りは $-x$ である。

3. 最終的な答え

(1) $x$

(2) $-x$