2次関数 $y = ax^2 + 2ax + b$ において、$-2 \le x \le 2$ の範囲での最大値が8、最小値が-10となるように、定数 $a$ と $b$ の値を定める問題です。ただし、$a < 0$ とします。

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 + 2ax + b$ において、$-2 \le x \le 2$ の範囲での最大値が8、最小値が-10となるように、定数 $a$ と $b$ の値を定める問題です。ただし、$a < 0$ とします。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = a(x^2 + 2x) + b = a(x^2 + 2x + 1 - 1) + b = a(x+1)^2 - a + b$

したがって、この2次関数の頂点は $(-1, -a+b)$ です。

$a < 0$ であることから、このグラフは上に凸な放物線です。

定義域 $-2 \le x \le 2$ の中央の値は $x=0$ で、頂点 $x = -1$ は定義域の中央よりも左にあります。

上に凸なグラフであることと、$a < 0$であることから、最大値は $x = -1$ のときにとります。つまり、頂点の $y$ 座標が最大値になります。

したがって、

$-a + b = 8$ ... (1)

最小値は、$x = 2$ のときにとります。よって、

$a(2+1)^2 - a + b = 9a - a + b = 8a + b = -10$ ... (2)

(1)と(2)の連立方程式を解きます。

(1)より $b = a + 8$

これを(2)に代入すると、

$8a + a + 8 = -10$

$9a = -18$

$a = -2$

これを(1)に代入すると、

$-(-2) + b = 8$

$2 + b = 8$

$b = 6$

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = 6$