与えられた対数の式を計算し、簡略化する問題です。 $\log_2 \sqrt[5]{72} - \frac{2}{5} \log_2 3$

1. 問題の内容

与えられた対数の式を計算し、簡略化する問題です。

$\log_2 \sqrt[5]{72} - \frac{2}{5} \log_2 3$

2. 解き方の手順

まず、$72$ を素因数分解します。$72 = 2^3 \times 3^2$ です。

次に、対数の性質を利用して式を簡略化します。

$\log_a (x^n) = n \log_a x$

$\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$

$\log_2 \sqrt[5]{72} - \frac{2}{5} \log_2 3 = \log_2 (72)^{\frac{1}{5}} - \log_2 (3^{\frac{2}{5}})$

$= \log_2 (2^3 \times 3^2)^{\frac{1}{5}} - \log_2 (3^{\frac{2}{5}})$

$= \log_2 (2^{\frac{3}{5}} \times 3^{\frac{2}{5}}) - \log_2 (3^{\frac{2}{5}})$

$= \log_2 2^{\frac{3}{5}} + \log_2 3^{\frac{2}{5}} - \log_2 3^{\frac{2}{5}}$

$= \log_2 2^{\frac{3}{5}}$

$= \frac{3}{5} \log_2 2$

$= \frac{3}{5} \times 1$

$= \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{5}$