与えられた対数の式 $\log_9 5 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} 5$ の値を計算します。

1. 問題の内容

与えられた対数の式 $\log_9 5 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} 5$ の値を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\log_9 5$ と $\frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} 5$ をそれぞれ簡単にします。

$\log_9 5$ について、底を3に変換します。

$9 = 3^2$ なので、

$\log_9 5 = \frac{\log_3 5}{\log_3 9} = \frac{\log_3 5}{2} = \frac{1}{2} \log_3 5$

次に、$\frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} 5$ を考えます。

$\frac{1}{2} = 2^{-1}$ なので、

$\log_{\frac{1}{2}} 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 \frac{1}{2}} = \frac{\log_2 5}{\log_2 2^{-1}} = \frac{\log_2 5}{-1} = -\log_2 5$

したがって、

$\frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} 5 = \frac{1}{2} (-\log_2 5) = -\frac{1}{2} \log_2 5$

元の式に代入すると、

$\log_9 5 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} 5 = \frac{1}{2} \log_3 5 - \frac{1}{2} \log_2 5$

$= \frac{1}{2} (\log_3 5 - \log_2 5)$

底の変換公式を用いて、底を10に変換すると、

$\log_3 5 = \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 3}$

$\log_2 5 = \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 2}$

したがって、

$\frac{1}{2} (\log_3 5 - \log_2 5) = \frac{1}{2} \left( \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 3} - \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 2} \right)$

$= \frac{1}{2} \log_{10} 5 \left( \frac{1}{\log_{10} 3} - \frac{1}{\log_{10} 2} \right)$

$= \frac{1}{2} \log_{10} 5 \left( \frac{\log_{10} 2 - \log_{10} 3}{\log_{10} 3 \log_{10} 2} \right)$

$= \frac{1}{2} \log_{10} 5 \left( \frac{\log_{10} \frac{2}{3}}{\log_{10} 3 \log_{10} 2} \right)$

しかし、問題文をよく見ると、 $\log_{\frac{1}{2}} 5$ ではなく、 $\log_{\frac{1}{2}}x$ などではなく、単に $\log_{\frac{1}{2}}$ と書かれているように見える。これは問題として不適切である。もし、$\log_{\frac{1}{2}} 5$ が $\log_{\frac{1}{2}}$ であれば、解くことができない。

もう一度、$\log_9 5 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} 5$ を計算します。底の変換公式を用いて、底を5に変換します。

$\log_9 5 = \frac{\log_5 5}{\log_5 9} = \frac{1}{\log_5 9}$

$\frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} 5 = \frac{1}{2} \frac{\log_5 5}{\log_5 \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \frac{1}{\log_5 \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \frac{1}{\log_5 2^{-1}} = \frac{1}{2} \frac{1}{-\log_5 2} = -\frac{1}{2\log_5 2}$

したがって、

$\log_9 5 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} 5 = \frac{1}{\log_5 9} - \frac{1}{2\log_5 2}$

$= \frac{1}{\log_5 3^2} - \frac{1}{2\log_5 2}$

$= \frac{1}{2\log_5 3} - \frac{1}{2\log_5 2}$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\log_5 3} - \frac{1}{\log_5 2} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \log_3 5 - \log_2 5 \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{\ln 5}{\ln 3} - \frac{\ln 5}{\ln 2} \right) = \frac{1}{2} \ln 5 \left( \frac{1}{\ln 3} - \frac{1}{\ln 2} \right)$

$= \frac{1}{2} \ln 5 \left( \frac{\ln 2 - \ln 3}{\ln 3 \ln 2} \right) = \frac{1}{2} \ln 5 \left( \frac{\ln \frac{2}{3}}{\ln 3 \ln 2} \right)$

数値で評価すると、$\log_9 5 \approx 0.73248$

$\log_{\frac{1}{2}} 5 \approx -2.3219$ なので、$\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{2}} 5 \approx -1.16096$

$\log_9 5 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} 5 \approx 0.73248 - 1.16096 \approx -0.42848$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln 5 \left( \frac{\ln \frac{2}{3}}{\ln 3 \ln 2} \right) \approx -0.42848$

または、

$\frac{1}{2} (\log_3 5 - \log_2 5)$