二次関数 $y = x^2 - 4x + 2$ について、定義域 $0 \le x \le a$ (ただし $a > 0$)における、(1) 最小値 $m$ と (2) 最大値 $M$ を求める問題です。

1. 問題の内容

二次関数 $y = x^2 - 4x + 2$ について、定義域 $0 \le x \le a$ (ただし $a > 0$)における、(1) 最小値 $m$ と (2) 最大値 $M$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 2 = (x-2)^2 - 2$

これにより、頂点の座標が $(2, -2)$ であることが分かります。

(1) 最小値 $m$ を求める。

定義域 $0 \le x \le a$ において、二次関数の最小値を考えます。軸 $x=2$ が定義域に含まれるかどうかが重要です。

* $0 < a \le 2$ のとき、定義域の右端 $x=a$ で最小値を取ります。したがって、$m = a^2 - 4a + 2$ となります。

* $a > 2$ のとき、頂点の $x$ 座標 $x=2$ が定義域に含まれるため、最小値は頂点の $y$ 座標、つまり $m = -2$ となります。

(2) 最大値 $M$ を求める。

定義域 $0 \le x \le a$ において、二次関数の最大値を考えます。二次関数の軸 $x=2$ から最も離れた $x$ の値で最大値を取ります。

* $0 < a \le 4$ のとき、最大値は $x=0$ で取るので、$M=0^2 - 4(0) + 2 = 2$となります。

* $a > 4$ のとき、最大値は $x=a$ で取るので、$M=a^2 - 4a + 2$となります。

まとめると、

(1) 最小値$m$について

$0<a\le2$のとき、$m=a^2-4a+2$

$a>2$のとき、$m=-2$

(2) 最大値$M$について

$0<a\le4$のとき、$M=2$

$a>4$のとき、$M=a^2-4a+2$

3. 最終的な答え

(1) 最小値 $m$:

$0<a\le2$のとき、$m=a^2-4a+2$

$a>2$のとき、$m=-2$

(2) 最大値 $M$:

$0<a\le4$のとき、$M=2$

$a>4$のとき、$M=a^2-4a+2$