次の数列の第$k$項を求め、初項から第$n$項までの和を求めます。 (1) $3^2, 5^2, 7^2, 9^2, 11^2, \dots$ (2) $1\cdot 2, 2\cdot 7, 3\cdot 12, 4\cdot 17, \dots$ (3) $1\cdot 10, 3\cdot 7, 5\cdot 4, 7\cdot 1, \dots$

1. 問題の内容

次の数列の第$k$項を求め、初項から第$n$項までの和を求めます。

(1) $3^2, 5^2, 7^2, 9^2, 11^2, \dots$

(2) $1\cdot 2, 2\cdot 7, 3\cdot 12, 4\cdot 17, \dots$

(3) $1\cdot 10, 3\cdot 7, 5\cdot 4, 7\cdot 1, \dots$

2. 解き方の手順

(1) 数列 $3^2, 5^2, 7^2, 9^2, 11^2, \dots$ の一般項を求めます。

これは、等差数列 $3, 5, 7, 9, 11, \dots$ の各項を2乗したものです。

等差数列の一般項は $a_k = 3 + (k-1)2 = 2k+1$ なので、数列の一般項は $a_k = (2k+1)^2$ です。

初項から第$n$項までの和を求めます。

$$S_n = \sum_{k=1}^n (2k+1)^2 = \sum_{k=1}^n (4k^2 + 4k + 1) = 4\sum_{k=1}^n k^2 + 4\sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1$$

$$= 4\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 4\frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} + 2n(n+1) + n$$

$$= \frac{2n(n+1)(2n+1) + 6n(n+1) + 3n}{3} = \frac{n}{3}(2(n+1)(2n+1) + 6(n+1) + 3) = \frac{n}{3}(4n^2 + 6n + 2 + 6n + 6 + 3)$$

$$= \frac{n}{3}(4n^2 + 12n + 11)$$

(2) 数列 $1\cdot 2, 2\cdot 7, 3\cdot 12, 4\cdot 17, \dots$ の一般項を求めます。

これは、$a_k = k b_k$ の形をしています。

$k$ の数列は $1, 2, 3, 4, \dots$ で、これは $k$ です。

$b_k$ の数列は $2, 7, 12, 17, \dots$ で、これは等差数列です。

等差数列の一般項は $b_k = 2 + (k-1)5 = 5k - 3$ なので、数列の一般項は $a_k = k(5k-3) = 5k^2 - 3k$ です。

初項から第$n$項までの和を求めます。

$$S_n = \sum_{k=1}^n (5k^2 - 3k) = 5\sum_{k=1}^n k^2 - 3\sum_{k=1}^n k = 5\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 3\frac{n(n+1)}{2}$$

$$= \frac{5n(n+1)(2n+1) - 9n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(5(2n+1) - 9)}{6} = \frac{n(n+1)(10n+5-9)}{6} = \frac{n(n+1)(10n-4)}{6}$$

$$= \frac{n(n+1)(5n-2)}{3}$$

(3) 数列 $1\cdot 10, 3\cdot 7, 5\cdot 4, 7\cdot 1, \dots$ の一般項を求めます。

これは、$a_k = b_k c_k$ の形をしています。

$b_k$ の数列は $1, 3, 5, 7, \dots$ で、これは等差数列です。

等差数列の一般項は $b_k = 1 + (k-1)2 = 2k - 1$ です。

$c_k$ の数列は $10, 7, 4, 1, \dots$ で、これは等差数列です。

等差数列の一般項は $c_k = 10 + (k-1)(-3) = -3k + 13$ です。

数列の一般項は $a_k = (2k-1)(-3k+13) = -6k^2 + 26k + 3k - 13 = -6k^2 + 29k - 13$ です。

初項から第$n$項までの和を求めます。

$$S_n = \sum_{k=1}^n (-6k^2 + 29k - 13) = -6\sum_{k=1}^n k^2 + 29\sum_{k=1}^n k - 13\sum_{k=1}^n 1 = -6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 29\frac{n(n+1)}{2} - 13n$$

$$= -n(n+1)(2n+1) + \frac{29n(n+1)}{2} - 13n = \frac{-2n(n+1)(2n+1) + 29n(n+1) - 26n}{2}$$

$$= \frac{n}{2}(-2(n+1)(2n+1) + 29(n+1) - 26) = \frac{n}{2}(-2(2n^2 + 3n + 1) + 29n + 29 - 26) = \frac{n}{2}(-4n^2 - 6n - 2 + 29n + 3)$$

$$= \frac{n}{2}(-4n^2 + 23n + 1)$$

3. 最終的な答え

(1) 第$k$項: $(2k+1)^2$, 初項から第$n$項までの和: $\frac{n}{3}(4n^2 + 12n + 11)$

(2) 第$k$項: $5k^2 - 3k$, 初項から第$n$項までの和: $\frac{n(n+1)(5n-2)}{3}$

(3) 第$k$項: $-6k^2 + 29k - 13$, 初項から第$n$項までの和: $\frac{n}{2}(-4n^2 + 23n + 1)$