2次方程式 $x^2 + 2x - a = 0$ の解の一つが $-1 + \sqrt{13}$ のとき、$a$ の値を求め、もう一つの解を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2x - a = 0$ の解の一つが $-1 + \sqrt{13}$ のとき、$a$ の値を求め、もう一つの解を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた解 $x = -1 + \sqrt{13}$ を2次方程式に代入して、$a$ の値を求める。

$(-1 + \sqrt{13})^2 + 2(-1 + \sqrt{13}) - a = 0$

$1 - 2\sqrt{13} + 13 - 2 + 2\sqrt{13} - a = 0$

$14 - 2 - a = 0$

$12 - a = 0$

$a = 12$

次に、$a = 12$ を2次方程式に代入する。

$x^2 + 2x - 12 = 0$

解の公式を用いて、この2次方程式の解を求める。解の公式は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ である。この場合、$a = 1$, $b = 2$, $c = -12$ であるから、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-12)}}{2(1)}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{52}}{2}$

$x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{13}}{2}$

$x = -1 \pm \sqrt{13}$

よって、2つの解は $x = -1 + \sqrt{13}$ と $x = -1 - \sqrt{13}$ である。

問題で与えられた解は $-1 + \sqrt{13}$ なので、もう一つの解は $-1 - \sqrt{13}$ である。

3. 最終的な答え

$a = 12$

もう一つの解: $-1 - \sqrt{13}$