与えられた2次方程式 $(x-1)(x-2) + (x-2)x + x(x-1) = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $(\alpha - 2)(\beta - 2)$ (2) $\frac{1}{\alpha\beta} + \frac{1}{(\alpha-1)(\beta-1)} + \frac{1}{(\alpha-2)(\beta-2)}$

1. 問題の内容

与えられた2次方程式 $(x-1)(x-2) + (x-2)x + x(x-1) = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $(\alpha - 2)(\beta - 2)$

(2) $\frac{1}{\alpha\beta} + \frac{1}{(\alpha-1)(\beta-1)} + \frac{1}{(\alpha-2)(\beta-2)}$

2. 解き方の手順

まず、2次方程式を整理する。

$(x-1)(x-2) + (x-2)x + x(x-1) = 0$

$x^2 - 3x + 2 + x^2 - 2x + x^2 - x = 0$

$3x^2 - 6x + 2 = 0$

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{-6}{3} = 2$

$\alpha\beta = \frac{2}{3}$

(1) $(\alpha - 2)(\beta - 2) = \alpha\beta - 2(\alpha + \beta) + 4$

$(\alpha - 2)(\beta - 2) = \frac{2}{3} - 2(2) + 4$

$(\alpha - 2)(\beta - 2) = \frac{2}{3} - 4 + 4$

$(\alpha - 2)(\beta - 2) = \frac{2}{3}$

(2) $\frac{1}{\alpha\beta} + \frac{1}{(\alpha-1)(\beta-1)} + \frac{1}{(\alpha-2)(\beta-2)}$

$(\alpha-1)(\beta-1) = \alpha\beta - (\alpha+\beta) + 1 = \frac{2}{3} - 2 + 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$

$(\alpha-2)(\beta-2) = \frac{2}{3}$ (上記より)

$\frac{1}{\alpha\beta} + \frac{1}{(\alpha-1)(\beta-1)} + \frac{1}{(\alpha-2)(\beta-2)} = \frac{1}{\frac{2}{3}} + \frac{1}{-\frac{1}{3}} + \frac{1}{\frac{2}{3}}$

$= \frac{3}{2} - 3 + \frac{3}{2} = 3 - 3 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3}$

(2) $0$