与えられた分数の分母を有理化する問題です。具体的には、$\frac{12}{\sqrt{5}-1}$を計算し、分母に根号を含まない形にすることを目指します。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。具体的には、$\frac{12}{\sqrt{5}-1}$を計算し、分母に根号を含まない形にすることを目指します。

2. 解き方の手順

分母の有理化を行うには、分母の共役な複素数（この場合は$\sqrt{5}+1$）を分子と分母の両方に掛けます。

まず、与えられた分数を書きます。

$\frac{12}{\sqrt{5}-1}$

次に、分子と分母に$\sqrt{5}+1$を掛けます。

$\frac{12}{\sqrt{5}-1} = \frac{12(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}$

分母を展開します。これは、$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$の公式を利用します。

$(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1) = (\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4$

分子を展開します。

$12(\sqrt{5}+1) = 12\sqrt{5} + 12$

したがって、

$\frac{12(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{12\sqrt{5}+12}{4}$

分子と分母を4で割って簡約化します。

$\frac{12\sqrt{5}+12}{4} = \frac{12(\sqrt{5}+1)}{4} = 3(\sqrt{5}+1) = 3\sqrt{5} + 3$

3. 最終的な答え

$3\sqrt{5}+3$