1 の 3 乗根のうち、虚数であるものの 1 つを $\omega$ とするとき、$\omega^6 + (\overline{\omega})^3 + 1$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

1 の 3 乗根のうち、虚数であるものの 1 つを $\omega$ とするとき、$\omega^6 + (\overline{\omega})^3 + 1$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\omega$ は 1 の 3 乗根なので、$\omega^3 = 1$ が成り立ちます。また、$\omega$ は虚数であることから、$\omega \neq 1$ です。

$\omega$ は $x^3 - 1 = 0$ の解なので、$(x-1)(x^2 + x + 1) = 0$ と因数分解できます。$\omega \neq 1$ なので、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ を満たします。

$\omega^6 = (\omega^3)^2 = 1^2 = 1$ です。

$\overline{\omega}$ は $\omega$ の複素共役であり、$\overline{\omega}$ も $x^3 = 1$ の解です。

$\omega$ が虚数のとき、$\overline{\omega} = \omega^2$ が成り立ちます。（$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ より）

したがって、$(\overline{\omega})^3 = (\omega^2)^3 = \omega^6 = 1$ です。

よって、$\omega^6 + (\overline{\omega})^3 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$ となります。

3. 最終的な答え

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